Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, meine Damen und Herren, herzlich willkommen. Ich wünsche Ihnen ein gutes neues Jahr. Ich

hoffe, Sie sind gut rüber gekommen. So, jetzt müssen wir das kurz nochmal hier anklicken.

So, ja, wir hatten letztes Jahr geschlossen mit der Diskussion der nicht zentralen Kräftesysteme

in 3D und hatten uns eben da den Grundaufgaben gewidmet, Reduktion eines Kräftesystems,

die Gleichung und die Zerlegung. Ich vermute, dass Sie sich an all das noch bestens erinnern.

Insofern können wir da jetzt gleich drauf aufbauen. Moment, den wollen wir ausschalten.

So, genau, können wir da gleich drauf aufbauen und uns dem nächsten Thema widmen,

was daraus folgt. Und zwar ist das die Frage, wie bestimme ich Mittelpunkte von verschiedenen

Quantitäten. Und dazu wollen wir zunächst mal eben aus den Begrifflichkeiten, die wir

eben bei den Kräften uns hergeleitet haben, so ein paar allgemeine Zusammenhänge hier betrachten.

Und dazu betrachten wir zunächst mal parallel verteilte einzelne Kräfte,

diskret verteilte Kräfte. Das lege ich Ihnen vielleicht hier mal mit auf. Das seien also

solche Konstellationen von parallelen Kräften, einzelnen Kräften, die diskret verteilt sind

und alle in die gleiche Richtung zeigen. Ich glaube, wir brauchen hier ein bisschen mehr

Licht an der Tafel. So, gut, also gucken Sie sich das da vorne an. Wir haben lauter

Kräfte F1 bis in dem Fall F3, aber beliebig viele, die alle in die gleiche Richtung zeigen,

die durch diesen Vektor E gegeben sind. Dann ist es natürlich so, dass die Resultierende

aller dieser verteilten Kräfte sich eben schlicht und ergreifend aus der Summe hier ergeben,

wie immer, nur dass eben bei dieser Summe diese Richtung ausgeklammert werden kann.

Also, wir haben die Einzelkräfte, jede einzelne Kraft Fi hat eine Länge Fi und zeigt in die

Richtung E und daraus ergibt sich natürlich dann, insbesondere für die Resultierende

aller dieser Kräfte, dass die sich ergibt aus ihrer Länge mal der Einheitsrichtung

E und dass insbesondere diese Länge hier der Resultierenden sich jetzt gerade eben ergibt

aus der Summe aller dieser einzelnen Kräfte. Und jetzt ist eben noch die Frage, wo ist

die angeordnet? Sie sehen das da oben in dem Bild. Zu jeder dieser Kräfte führt eben

ein Vektor R, der zu ihrem Angriffspunkt führt. Wir fragen uns jetzt, wo liegt eben diese

Resultierende hier, F, von all diesen einzelnen Kräften und das bestimmen wir natürlich

wieder mit Hilfe des Momentensatzes. Und da gab es so einen kleinen Punkt, dass in 3D

dieser Momentensatz, der sagt ja aus, dass die Summe der Momente der beteiligten Kräfte

gleich dem Moment der Resultierenden ist und das gilt in 3D nur für diesen Fall, den wir

diskutiert hatten, dieser sogenannten Totalresultierenden. Sie erinnern sich vielleicht noch ganz dunkel,

es gab noch so einen ausgekochten Sonderfall, wo von so einem Kräftesystem neben der Total-,

also neben der Resultierenden auch noch ein Moment übrig bleibt, was um diese Resultierende

herum dreht, die sogenannte Kraftschraube. Und dann haben wir eben, gilt dieser Momentensatz

ebenso nicht, hier haben wir aber diesen Fall der Totalresultierenden

und dann gilt eben dieser Momentensatz und dann können wir den mal folgendermaßen hinschreiben.

Dann haben wir also das Moment der Resultierenden, das ist eben das Kreuzprodukt aus diesem Ortsvektor

RF und der Resultierenden und das ist eben jetzt gerade gleich die Summe der Momente

der einzelnen Kräfte, jede Kraft hat einen Moment, was sich ergibt aus dem Kreuzprodukt

von ihrem Ortsvektor und der Kraft selber, wie das da oben in dem Bild angedeutet ist.

So, aufgrund der Tatsache, dass jetzt alle diese Kräfte hier parallel sind, die Resultierende

und die einzelnen Kräfte, kann ich daraus eben diese Richtung E hier jeweils ausklammern

und bekomme etwas einen Ausdruck, den ich vielleicht die Bedingung für den Mittelpunkt bezeichnen

will, die Mittelpunktbedingungen und die sieht nun folgendermaßen aus, links und rechts klammern

wir jeweils diese Richtung E aus, die steckt ja hier in diesen Fs drin und dann bekommen

wir das folgende, links steht dann RF mal der Länge der Resultierenden, rechts steht

Ri mal den Längen der einzelnen Kräfte, das bringe ich auf die linke Seite, Summe i, Ri,

Fi und diese Einheitsrichtung E, das Kreuzprodukt mit der Einheitsrichtung E, das habe ich jeweils

ausgeklammert, links und rechts und sieht das so aus, was jetzt hier steht, ist die linke