Hallo wir machen weiter mit folgen und zwar mit einem thema das wir beim letzten mal nicht

mehr geschafft haben nämlich mit dem zusammenhang zwischen beschränktheit und konvergenz und folgen

die erste austeigung die besprechen wollen ist dass jede konvergente folge beschränkt ist das

gilt aber nicht die umkehrung davon denn nicht jede beschränkte folge ist konvergent

jetzt können wir über ein gegenbeispiel nachdenken ich stelle eine wirklich über

reelle fragen es man nach dass im komplexen könnte man genauso gegenbeispiel befinden also wir

suchen eine folge die beschränkt ist also die sich in so einem schlauch befindet von maximal

17 und minimal minus 300 und können wir eine folge finden die sich immerhin drin befindet die

aber nicht konvergent ist und ja natürlich zum beispiel die folge bisher nur eine kleine

anzahl von beispiel von folgen gesehen und die gegenbeispiele die werden sich häufen und ein

beispiel von folge ist die minus eins auf eine folge ein gegenbeispiel etwas suchen möchte

dass das hier eigentlich mal ganz guter kandidat die ja gut das habe ich jetzt die scar ist hier ein

bisschen kompliziert springt quasi immer hier so ein bisschen her die ist nicht nur zwischen

17 300 beschränkt sondern sie ist beschränkt zwischen minus eins und eins aber sie ist nicht

konvergent weil wir haben gezeigt dass sie nicht konvergiert aber jede konvergente folge ist

tatsächlich beschränkt wir sollten vielleicht darüber nachdenken warum es der fall ist dann

machen wir gleich noch den beweis warum ist jede konvergente folge beschränkt also was haben wir

sei an in element n eine folge die konvergente ist wir können es ein bisschen konkreter machen

eine konvergente folge hat also ein grenzwert diesen grenzwert nennen wir es einfach mal

sei also element der grenzwert dann gilt einfach nur aus dem was wir gegeben haben mich das werden

konvergente folge haben für alle ärzte größer null existiert ein n 0 so dass dieses einfach

so dass für alle n größer gleich n 0 gilt das an minus a kleiner epsilon ist nun ja was

macht man jetzt wir wollen eigentlich zeigen existiert ein nenn wir es doch klein m und ein

groß m beides reelle zahlen so dass für alle n gilt das an nach wir machen es nicht in der

in der endfolge brauchen nur eine einzige zahl also nur eine eine zahl in r dass die folge die

folgen die da ein nicht immer in einer kugel mit radius m um den notpunkt befinden also alle

folgen wieder sind maximal m groß im betrag denn das hier könnte eine komplexe folge sein

und das hier sieht schon so ein bisschen so aus also wir wissen dass im endeffekt nach

einiger zeit sich an nur noch um epsilon von a entfernt haben wird das ist schon mal so

ungefähr das was wir haben wollen ich mache jetzt ein bild dazu für eine reelle folge

also die illustration ist für eine reelle folge aber dass der ganze beweis auch so komplexe folgen

funktionieren das heißt hier macht diese folge irgendwas wildes aber dann natürlich irgendwann

kombiniert die folge gegen a das heißt es gibt so ein n 0 also wir wählen ein epsilon das können

wir uns dann überlegen was ein geschicktes epsilon wäre und ab so ein n 0 von epsilon sind alle

folgen glieder in diesem epsilon schlauch drin plus epsilon und ab jetzt das heißt ab diesem

n 0 sind tatsächlich alle folgen glieder beschränkt weil sie sich in diesem in diesem schlauch hier

um den grenzwert befinden ich sage grenzwert ist dann hier drin okay das ist schon mal gut die frage

ist nur was machen wir den ganzen folgen glieder am anfang aber das schöne ist ja dass sie nur

endlich viele die sind alle endlich das heißt wir können einfach das maximum von allen folgen

glieder nehmen und von dem was sich hier drin abspielt und schon haben wir unser gesamtes

maximum das heißt jetzt müssen wir wieder was konstruktiv machen wir müssen jetzt hier zeigen

es existiert 2m also jetzt müssen wir uns ein bisschen was überlegen was kann man jetzt machen

naja eigentlich ist es uns egal wie klein dieser epsilon schlauch ist eigentlich wollen wir das

gar nicht so groß haben das verschiebt unser n 0 noch weit außen wählen wir doch einfach mal

sei epsilon gleich 1 warum nicht dann und das besagt uns unsere voraussetzung existiert ein

0 so dass für alle n größer gleich n 0 an minus a kleiner epsilon ist was können wir daraus folgern

also insbesondere wollen wir eigentlich an in betrag abschätzen ist aber jetzt hier nicht an

im betrag abgeschätzt sondern an minus an betrag naja wie schätzen wir betrag striche ab das ist

immer die dreieckseingleichung der trick ist jetzt hier an minus a plus abzurechnen und dann

diese diesen betrag hier mit der dreieckseingleichung auseinander zu ziehen in an minus a plus betrag