Im letzten Video haben wir den Begriff der Diagonalisierbarkeit eingeführt und eine

sehr nützliche Klasse von ähnlichen Matrizen, nämlich die diagonalisierbaren Matrizen,

kennengelernt. Und wir wollen uns jetzt im folgenden Mal mit Beispielen beschäftigen

für Matrizen, die diagonalisierbar oder eben nicht diagonalisierbar sind, um ein wenig die

Kriterien zu üben und auch ein Gefühl dafür zu bekommen, welche Matrizen besonders die

Ansprüche erfüllen und worauf wir achten müssen. Also wir werden uns im

folgenden erstmal mit zwei Matrizen beschäftigen, die nicht diagonalisierbar

sind. Heute Beispiele zur Diagonalisierung.

Und wir fangen an mit einer 3 x 3 Matrix, sei A gegeben als 3 x 3 Matrix mit

reellen Einträgen der folgenden Gestalt und zwar sagen wir A ist im folgenden definiert als

die Matrix mit der Hauptdiagonalen 1, minus 1 und 1. Auf den negen Diagonalen haben wir

minus Wurzel 3, hier ist eine 0, da ist eine 0, plus Wurzel 3, 0 und 0. Das soll mal für

uns als Beispiel dienen und als allererstes, das ist klar, bestimmen wir das

charakteristische Polynom von A, um zu sehen, was denn die Eigenwerte sind, das

heißt, bestimme charakteristisches Polynom

P A und als Freivariable wählen wir hier T, das heißt, wir haben P A von T ist gleich die

Determinante von A minus T mal der Einheitsmatrix in 3 x 3 und was ist das

Ganze? Wir schreiben es einmal hin, auf der Hauptdiagonalen dann 1 minus T, minus 1,

minus T und 1 minus T und auf den neben Diagonalen die Einträge bleiben erhalten,

das heißt, hier haben wir zwei Nullen, plus Wurzel 3, 0, 0. Ja und das Ganze können wir mit der

Produktregel für Determinanten ausrechnen, relativ einfach, das heißt, ich schaue mir einmal diesen

Block an und multipliziere die Determinante dieses Blocks mit der Determinante dieses Blocks.

Wenn ich das mache, habe ich ganz einfach das charakteristische Polynom bestimmt, das liegt

einfach an der schönen Gestalt dieser Matrix A, das heißt, wir fangen an mit dem Block unten rechts,

hier ist eindeutig, dass wir den Faktor 1 minus T bekommen und wir multiplizieren das Ganze mit

der Determinante des Blocks oben links und das ist nichts anderes wie 1 minus T multipliziert mit

minus 1 minus T, das ist die Hauptdiagonale, plus Wurzel 3 mal Wurzel 3, normalerweise hätten wir hier

Minus rechnen müssen, aber das verschwindet im Vorzeichen und jetzt können wir das Ganze

zusammenfassen, offensichtlich als 1 minus T, der Faktor bleibt und hier enthält mein

Polynom, der Form T quadrat minus 1 plus 3, also haben wir nichts anderes wie 1 minus T mal T

quadrat plus 2, das ist unser Ergebnis für das charakteristische Polynom und dann sehen wir schon

da werden wir ein Problem kriegen, nämlich der hintere Faktor, dieses T quadrat plus 2, das hat

Nullstellen, die nicht mehr in R liegen, das heißt unser charakteristisches Polynom zerfällt nicht

in Linearfaktoren über R, das heißt dieser Term wird uns Probleme machen, Beobachtung,

das charakteristische Polynom zerfällt, das war eins der Kriterien für Diagonalisierbarkeit,

nicht in Linearfaktoren über dem Körper und das war in dem Fall R, das heißt wir können folgern,

diese Matrix ist nicht diagonalisierbar, das war schon das erste einfache Beispiel, das heißt wenn

wir sehen, dass das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt, dann können wir schon

folgern, diese Matrix ist nicht diagonalisierbar, das war relativ einfach, da mussten wir noch nicht

viel machen, schauen wir uns ein Beispiel an, das ein bisschen komplizierter ist, also zweites Beispiel,

wir wählen wieder die Matrix A aus 3 Kreuz 3, das heißt A sei 3 Kreuz 3 mit Einträgen und wir

definieren uns A in diesem Fall als die Matrix mit folgender Gestalt, die ist jetzt nicht mehr so

schön, hat nicht mehr so viele Nullen als Einträge, 3 2 3 4 7 und 9 und minus 3 minus 4 minus 5,

hier haben wir keine schöne Gestalt, kann hier nicht die Produktregel für Blockmatrizen anwenden,

das heißt hier müssen wir wirklich entweder mit der determinanten Regel nach Saru arbeiten oder

aber das Gaussche eliminationsverfahren anwenden, den Schritt sparen wir uns, das haben wir schon

oft genug geübt mittlerweile, das heißt ich gebe einfach direkt das charakteristische Polynom an,

das heißt P A von T ist in dem Fall die Determinante von A minus T Einheitsmatrix 3 Kreuz 3 und die

können wir angeben als minus T minus 2 Quadrat mal T minus 1, das heißt wir sehen hier schon

mal, okay das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren, das ist schon mal nicht schlecht,