Hallo, nach dem Thema Grafen machen wir jetzt was völlig anderes.

Diese Vorlesung ist ja gewissermaßen eine Sammlung von Ideen, die wichtig sind in der

Datenanalyse und der nächste große Block, den wir uns jetzt anschauen, ist die

mathematische Optimierung, die von sehr großer Wichtigkeit für das Analyse von

Daten setzen ist. Wir machen das natürlich erstmal relativ abstrakt und dann werden

es konkreter anwenden, aber um das Ganze besser verstehen zu können, müssen wir erstmal

Matematisch dran gehen und wir schauen uns eine Funktion an auf einem Gebiet, das R

hoch D, also zum Beispiel R hoch 2 oder R hoch 3. Man kann sich sowas immer so etwas vorstellen als

hier irgendwo ist die Definitionsmenge im R hoch D und oben geht dann die Rear-Achse

und so eine Funktion, die auf so eine Definitionsmenge D definiert ist und nach R geht, kann man sich

vorstellen als so ein Höhenprofil von so einem Lappen, der hier so irgendwie im Raum schwebt.

Der ist hier drüber und zu jedem Punkt in dieser Definitionsmenge gibt es einen

entsprechenden Punkt auf diesem Höhenprofil. Man kann auch so Höhenlinien einzeichnen,

wenn man möchte. Hier oben wird es steiler weiter gehen und diese Höhenlinien kann man

auch dann projizieren, hier runter, dann sind hier so Höhenlinien. Wenn man also sowas visualisieren

möchte, dann macht man das nicht immer in der vollen Dimensionalität, das wäre als

eine Funktion von R2 nach R. Das kann man auch so visualisieren, dass man das Ganze nur

in der zweiten Dimension anguckt und nur diese Höhenlinien plattet. Hier sieht man die Menge

D ohne Grau. Schaut man sich so ein paar Höhenlinien an. Und auch da legt man ein ganz gutes Bild

davon, wie diese Funktion aussieht, die ist da am höchsten und das sind Linien konstanter

Höhe, die man hier so sieht. Das was man oft auf tomografischen Karten sieht, wenn man

in der Berge eingezeichnet sind, das ist die Kartendarstellung, aber das ist das eigentliche,

was dahinter steckt. Zu jedem Punkt auf dieser Definitionsmenge gibt es einen Höhenprofil,

also einen Höhenpunkt und malzmatische Optimierung beschäftigt sich damit, minima und maxima von

solchen Funktionen zu finden. Also zum Beispiel diesen Berggipfel zu finden. Das heißt, zu

dieser Funktion ist das Minimierungsproblem das Problem, einen Punkt x Stern zu finden

in der Definitionsmenge, sodass f von x Stern die größte untere Schranke an f von x Stern

ist. Das ist jetzt sozusagen der tiefste Zahlpunkt. Das ist mal kurz als, wir wollen minimieren

f auf D und das Maximierungsproblem ist, wir suchen ein x Stern, sodass f von x Stern gleich

das Supremo von f von x Stern ist. Also die kleinste Oberhochschranke an alle möglich

erreichbaren Funktionswerte in D. Hier wäre also jetzt das da, das hier wäre das Maximum.

Warum ist es jetzt hier so komisch beschrieben mit Infima und Suprema und so weiter? Also

warum brauchen wir Inf und Sub hier? Brauche ich einfach Minimum und Maximum? Das Problem

ist, dass natürlich nicht jede Funktion ein Minimum besitzt oder ein Maximum besitzt.

Also zum Beispiel schauen wir uns an, f auf 0 bis unendlich nach R und x wird nach 1 durch

x geschickt. Die Funktion sieht so aus, also das ist 1 durch x und die besitzt weder ihr

Minimum noch ihr Maximum, weil es keinen Punkt gibt, wo in diesem Punkt das Minimum angenommen

wird und es gibt noch keinen Punkt, in dem das Maximum angenommen wird. Aber es gibt

sowas wie Suprema und Infima, die gibt es immer. Das Infimum dieser Funktion ist 0 und das

Supremum dieser Funktion, also mal f dazu, Suprema Funktion f ist plus unendlich. Aber

es gibt kein Minimum und kein Maximum. Das heißt, wenn man das jetzt in dieser Art und

Weise hinschreibt, dann weiß man, dass dieses Objekt hier auf jeden Fall existiert. Es gibt

immer ein Infimum, es gibt immer ein Supremum und das Minimierungsproblem ist, einen Punkt

zu finden, einen konkreten Punkt, sodass auswertende Funktionen in diesem Punkt uns dieses Infimum

zurückliefern oder in dem Fall das Supremum. Okay, so viel ist also dazu. Jetzt sprechen

wir mal über ein paar Begriffe, die hier relevant sind. Und als allererstes gehen wir

über lokale Minimalspiele. Wenn die Funktion f, die ist aus einem Definitionsbereich D definiert

und geht nach R und ein X-Stern heißt eine lokale Minimalspiele, also das hat noch nichts

mit dem Minimumsproblem so richtig zu tun, das ist nur eine lokale Minimalspiele. Und

eine lokale Minimalspiele ist ein Punkt X-Stern, falls ein Epsilon größer 0 existiert, sodass