Okay, jetzt wieder weiter mit dieser wichtigen Aussage, Theorien 4.

Wir betrachten eine Funktion, die auf einem Gebiet D definiert ist und jetzt müssen folgende

Bedingungen erfüllt sein.

Erstens, f muss eine stetige Funktion sein und dieses Definitionsgebiet D soll abgeschlossen

und beschränkt sein.

Und das nennt man in endlichen Dimensionen eine kompakte Menge.

Also abgeschlossen und beschränkt.

Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, also f ist stetig und das hier ist eine kompakte

Menge, dann ist f beschränkt, also geht nicht gegen plusendlich oder minusendlich auf Grenzwerte

und das globale Minimum und das globale Maximum werden beide angenommen.

Das heißt es gibt Punkte x1 und x2, so dass f von x1 gleich dem Infimum von f auf dieser

Definitionsmenge D ist und daher, weil das Infimum angenommen wird, kann man das schreiben

als das Minimum.

Das heißt das Minimum der Funktion auf dem Definitionsbereich ist gleich f von x1.

Und das gleiche gilt auch für das Supremum, also das Maximum.

Es gibt einen konkreten Punkt x2, wo das Supremum, also das Maximum angenommen wird.

Also man hat den Beweis für, also es sind jetzt drei Aussagen, nämlich erstens f ist

beschränkt, zweitens es nimmt das globale Minimum an und drittens das globale Maximum

wird auch angenommen.

Wir zeigen jetzt die mittlere Aussage, nämlich dass das Minimum angenommen wird.

Das Maximum ist exakt gleich, nur einmal umgedreht sozusagen und der Beweis, dass f beschränkt

ist, den werden wir wahrscheinlich in der Übung machen, weil ihnen das wahrscheinlich

hilft dieses Argument ein bisschen zu verinnerlichen.

Das funktioniert eigentlich genauso, nur dass man eben jetzt hier eine andere Art von Folgen

gleich wählt.

Ok, gehen wir jetzt mal an.

Wir haben eine stetige Funktion.

Der Definitionsbereich ist abgeschlossen und beschränkt, das brauchen wir gleich alles.

Und wir wollen jetzt zeigen, dass f sein Minimum annimmt, dass es also ein Punkt x1 nimmt,

wo das Infimum angenommen wird.

Und das ist so ein bisschen knifflig, weil woher sollen wir diesen Punkt x1 hier raten?

Wir müssen jetzt gleich zeigen, es gibt ein x1, sodass f von x1 vielleicht dem Infimum

von f von x ist.

Also wie sollen wir so ein x1 konstruieren?

Wir können nicht einfach sagen, ja das ist der Punkt 0 oder 17, wir wissen überhaupt

nicht so die Funktion.

Aber ok, wir fangen mal an.

Das Infimum, das existiert ja immer.

Es gibt auf jeden Fall immer eine größte untere Schranke an f, auch wenn das gegebenenfalls

minus unendlich ist.

Und wenn es zu einem Infimum oder auch zu einem Supremum, findet man immer eine Folge,

die im Grenzwert das Infimum realisiert.

Also man kann auf jeden Fall x1, x2, x3, x4 wählen, sodass der Grenzwert von f von xn

gleich dem Infimum von f von x ist.

Und diese Folge xn, die liegt komplett in D.

Das ist jetzt sozusagen ein Beweis noch in sich selbst, das kann man aber einfach durch

die Definition des Infimums gleich zeigen.

Also am besten mit einem Widerspruchsbeweis.

Also zu jedem Infimum findet man immer eine sogenannte Minimalfolge.

Das Minimalfolge ist ein bisschen ein problematischer Begriff natürlich, weil die Sprache imitiert,