Hallo, wir machen jetzt weiter mit Minimierung unter Nebenbedingungen und was das ist, erklärt

man am besten anhand von ein paar Beispielen.

In diesem Beispiel suchen wir ein Rechteck, was eine größtmögliche Fläche hat und das

soll aber einen gegebenen Umfang haben.

Das heißt wir haben hier so einen Rechteck hier und das hat Seitenlängen A und B und

wir biegen dieses Rechteck hier aus einem Meter Draht und wollen gerne diese Fläche

hier A mal B maximieren.

Das heißt man kann das Ganze jetzt so formulieren, wir wollen A mal B maximieren, diese Funktion

A mal B unter A und B in D, wobei D die Menge aller Längen A und B ist, sodass 2 mal A

plus 2 mal B gleich 1 ist, weil 2 mal A plus 2 mal B die Länge des Drahtes ist, von dem

wir einen Meter haben.

Wir können theoretisch auch sagen, wir lassen auch Drähte zu die kleineren, also wir schneiden

vielleicht was weg, dann können wir einen kleineren draus machen, aber es ist davon

auszugehen, dass wir damit die Fläche des Rechtecks nicht vergrößern können.

Das hier ist das Optimierungsproblem und die Nebenbedingungen ist in dem Fall die Menge,

auf der die Parameter oder die Variable definiert sind, über die wir optimieren wollen.

Jetzt hier in dem Fall kann man das Ganze recht einfach lösen, indem man schreibt 2A plus

2B ist gleich 1, daraus folgt, nehmen wir zum Beispiel B ist das gleiche wie 1 minus

2A durch 2.

Das heißt, äquivalent können wir maximieren A mal 1 minus 2A durch 2 unter der Bedingung,

dass A zwischen 0 und 1 halb ist.

Also natürlich ist das, der maximale Wert für A ist 1 halb, dann bekommen wir hier

so ein ganz dünnes Rechteck ohne echte Seitenlänge B, 1 halb hoch, 1 halb runter, daraus haben

wir jetzt dieses Rechteck gebogen.

Und wie geht das?

Das ist jetzt relativ einfach, das ist ein quadratisches Optimierungsproblem, das ist

eine quadratische Funktion, da kann man einfach lösen, man kann es ableiten, durchstellen,

davon finden und so weiter.

So wie wir es auch bisher gemacht haben, wir minimieren diese quadratische Funktion auf

diesem Gebiet.

Wir können es auch kurz machen, warum nicht?

Also das da, wir schreiben es kurz um, das ist A halbe minus A quadrat und das nennen

wir jetzt mal G von A.

G Strich von A ist 1 halb minus 2A und das ist 0 genau dann, wenn A gleich ein Viertel

ist.

Ein Viertel ist tatsächlich auch hier zwischen 0 und 1 halb, das heißt, das ist ein zulässiger

Punkt in der Definitionsmenge.

Jetzt schauen wir uns die zweite A-Leitung an, G Strich von A ist minus 2 und das ist

kleiner 0, auch wenn wir hier ein Viertel einsetzen, das heißt A gleich ein Viertel

ist ein lokales Maximum, also eine lokale Maximalstelle.

Das ist schon mal gut.

Jetzt müssen wir natürlich noch die Geränder betrachten, wir wissen Kandidaten für extremer

sind immer Randpunkte, nicht-differenzierbarkeitspunkte und die inneren Punkte, die kritischen Stellen

sind.

Die Funktion ist überall differenzierbar, das heißt, das müssen wir uns nicht anschauen,

aber den Rand müssen wir uns anschauen und G von den Randpunkten ist 0, also G von 0

ist gleich 0 und G von 1 halb ist gleich 0 und das ist beides kleiner als G von 1 Viertel,

das ist nämlich ein Viertel mal eins minus ein halb, das ist ein Viertel mal ein Viertel,

das ist ein Sechzehntel, was größer gelöst ist.

Das bedeutet A gleich ein Viertel ist auch das globale Maximum und jetzt können wir