Schönen guten Tag, meine Damen und Herren.

Wir hatten am Dienstag angefangen mit der Torsion dünnwandiger Querschnitte.

Das war der Abschnitt 2.4.2. Dünnwandige, wir hatten zunächst einmal geschlossene Querschnitte betrachtet.

Das heißt, wir hatten den folgenden beliebig geformten Querschnitt, wenn man von vorne drauf guckt, der dünnwandig ist.

Die Wandstärke muss nicht konstant sein. Dann hatten wir gesagt, wir können hier irgendwo eine Koordinate S einführen,

um sozusagen die Positionen entlang des Querschnittes zu definieren und können damit die Wandstärke H von S angeben.

Wir hatten außerdem angenommen, dass für so einen dünnwandigen Querschnitt die Schubspannung ungefähr konstant über diese Höhe ist.

Das heißt, die Schubspannungsverteilung tau ebenfalls von S und es soll konstant über die kleine dicke H sein.

Wenn das nur dünnwandig genug ist, ist das tau ungefähr konstant.

Wir hatten dann außerdem festgestellt, das war das Ergebnis der letzten Vorlesung, dass wir eine Größe einführen konnten,

den wir den Schubfluss genannt haben, T von X und S. Also die X-Koordinate kommt ja hier sozusagen aus der Tafel raus.

Dieses T von X und S war das tau zunächst einmal von X und S mal diese Wandstärke H von S.

Also einfach die Integration über die dicke ausgeführt hier und die Integration über die dicke ist hier halt trivial,

wenn das tau konstant ist, es ist einfach tau mal die dicke ist dieser Schubfluss.

Das Ergebnis aus Gleichgewichtsgründen folgte, dass das T dt nach dS gleich Null ist, beziehungsweise T nur ein T von X ist.

Das heißt, das T, dieser Schubfluss, der hier wirkt als tau mal H ist entlang S konstant.

Das war das Ergebnis der letzten Vorlesung, da hatten wir aufgehört und wir wollen jetzt natürlich dieses T bestimmen.

Das möchte man ausrechnen natürlich und dazu schaut man sich jetzt Folgendes an.

Dann benutze ich hier gleich die Skizze weiter, wir nehmen jetzt irgendein anderen Stück, da muss ich nicht dahinschreiben.

Ich habe hier meinen Querschnitt und auf dem drücke ich jetzt meinen T hier, das kann ja das tau mal H, das ist einfach mein T.

Und das T, da das konstant ist von S, gebe ich dem hier keinen Laufwahlgabel, das T ist hier überall gleich.

Dann kann ich mir jetzt das Moment, das dieses T bezüglich eines beliebigen Bezugspunktes B hat, und wir nehmen als Bezugssuch mal den hier, an dem das X rauskommt,

dann ist das hier R tilde als Größe, das ist ein R, nicht R tilde, das ist R noch, ich zeichne das mal lieber da.

So, dann kann ich das R hier runter projizieren senkrecht auf diese, also das ist das R und das hier, wenn ich das runter senkrecht, ist das R tilde.

Und dann ist das Moment hier mT von X, einfach das Integral von R tilde mal T, einmal dS um den gesamten,

um das ganze Gebilde rum, dann habe ich jetzt noch alle Ts auf integriert, so da das T konstant ist, kann ich das auch rausziehen und habe hier dieses Integral R tilde dS.

So, dieses Integral R tilde dS, das ist eine rein geometrische Größe und die kann ich mir folgendermaßen interpretieren.

Ich habe hier ein kleines Stückchen dS, also ich nehme mal dieses Stückchen hier, das ist doof, also ich nehme hier mal so ein kleines Stückchen dS ein,

dann hätte ich hier R tilde mal dS wäre ja dieses Rechteck, das male ich mal gelb, R tilde mal dS ist dieses Rechteck.

Eine Hälfte davon ist dieses Dreieck.

Wenn ich jetzt einmal ganz um den Körper rumlaufe, einmal um den ganzen Querschnitt hier rumlaufe, dann decken mir diese Dreiecke einmal sozusagen die gesamte Fläche meines Querschnittes ab,

die gesamte umschlossene Fläche. Also ist das Integral R tilde dS

gleich T und das ist zweimal Phi und Phi ist die umschlossene Fläche.

Also wenn ich diese Dreiecke einmal ganz rum aufsummiere um den ganzen Querschnitt, kriege ich einmal die überstrichene Fläche, da ich jetzt nicht die Dreiecke,

sondern die kleine Rechtecke, weil ich ja hier R tilde dS, das ist ja das kleine gelbe Rechteck sozusagen, bekomme ich die Fläche doppelt,

ja mache ich sogar die, das ist ja die doppelte Fläche des Dreiecks, bekomme ich hier zweimal die umschlossene Fläche. So, damit bekomme ich als Ergebnis das T

daraus folgt und das ist der sogenannte erste Satz von Brett oder die erste Brettsche Formel,

dass das T von X, der Schubfluss, ist das Moment mT durch zweimal die umschlossene Fläche des Querschnittes.

Also es ist nicht die mit Materie, also sozusagen die materielle Fläche, ja, sondern die von dem gesamten Querschnitt umschlossene Fläche.

Also inklusive des Hohlraums in der Mitte. So, das ist sozusagen der Schubfluss und wenn ich die Wandstärke kenne, H von S,

kann ich mir dann natürlich auch die Schubspannung ausrechnen. Die maximale Schubspannung folgt dann, das ist das, was ich vielleicht für die Dimensionierung brauche,

Spannung tau max ist der Betrag von dem T irgendwie von X abhängig geteilt durch die kleinste Wandstärke, die irgendwo auftaucht,

das heißt die höchste Schubspannung taucht dort auf, wo die Wandstärke am kleinsten, also da wo das Rohr oder was immer das ist,

da dieses dünnwandige Gebilde am dünnsten ist von der Wandstärke. Das macht auch irgendwie Sinn, hier kann man sich irgendwie vorstellen,

oder das kann ich auch einsetzen, ist MT wieder durch so ein Torsionswiderstandmoment mit Wt ist gleich zweimal diese Fläche mal H min der kleinsten Wandstärke.

Damit habe ich die Schubspannung bestimmt und es war allein aus den Gleichgewichtsbedingungen möglich, das heißt die Schubspannungsverteilung

für dünnwandige, geschlossene Querschnitte ist ein statisch bestimmtes Problem, also rein die Gleichgewichtsbedingungen haben ausgereicht.

So jetzt möchte man natürlich trotzdem, nachdem man die Spannung weiß, auch irgendwie die Verdrehung oder Verdrillung wissen,

und dazu muss man jetzt etwas Kinematik treiben, also wir haben jetzt Statik gemacht und machen jetzt etwas Kinematik.

Dazu muss man Annahmen treffen, wir hatten bei dem Kreisrohr oder Kreisquerschnitt gesagt, dass sich die einzelnen Querschnitte wie starre Scheiben drehen,