Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen. Nehmen Sie bitte Platz.

Ja, willkommen zurück zur Vorlesung. Heute startet wieder ein neuer Teil der Vorlesung.

Das ist Teil C, die Lagranche Formulierung der Mechanik.

Und damit wir nicht aus den Augen verlieren, was wir eigentlich tun wollen,

wir wollen verstehen, wie so ein System sich bewegt, wenn ich es anstoße.

Und vor allem wollen wir die Bewegungsgleichung für so ein System aufstellen, ohne uns ganz viel Gedanken zu machen.

Und hier dran sehen Sie zweierlei. Erstens mal ist das ein ziemlich komplexes System.

Also weit entfernt von dem einfachen Fadenschwinger, den hat man ja einigermaßen unter Kontrolle bekommen.

Aber hier sind jetzt so verschiedene Querkopplungen zwischen den verschiedenen Massen, dass da sind Stangen.

Also erst mal komplex. Und das zweite ist, es gibt hier auch Zwangsbedingungen.

Zum Beispiel diese Perle hier, die kann nur hier entlang dieses gebogenen Drahtstücks sich bewegen.

Die ist gezwungen da drauf zu sein. Genauso ist diese Masse gezwungen irgendwo hier zu sein,

wo dieser starre Pendelarm ist ihr erlaubt zu sein, diese Masse.

Hier wiederum, da ist das noch ein bisschen komplizierter, denn wo die sein darf, hängt immer ab davon, wo dieses Ding ist.

Und hier unten, das ist wieder ziemlich frei, das schwingt hin und her, kann aber auch in der Richtung sich bewegen.

Das ist also ein ziemliches Chaos. So was ist natürlich, also nochmal, das ist ein komplexes System,

erstens und zweitens gibt es da Zwangsbedingungen.

Und das klingt etwa so, als würde man jetzt versuchen auf einmal zu viel zu wollen, so was zu verstehen.

Aber die Lagrange-Formulierung der Mechanik, die wirklich nur eine mathematische Reformulierung des Newton-Gesetzes ist,

werden wir sehen, die erschlägt beide Probleme auf einmal und es ist ein Kinderspiel, die Bewegungsgleichung hierfür aufzustellen.

Statt der Modellierung von Kräften modelliert man aber eben kein Vektorfeld oder Wechselwirkungsfeld,

sondern man modelliert eine einzige skalare Funktion, die sogenannte Lagrange-Funktion, um dieses System zu beschreiben.

Das werde ich Ihnen im Verlaufe der nächsten paar Vorlesungen zeigen.

Das Entscheidende ist aber diese Lagrange-Funktion, das ist keine skalare Funktion auf dem Raum,

sondern es ist eine skalare Funktion auf einem Raum, der doppelte Dimension hat, nämlich dem sogenannten Geschwindigkeitsphasenraum.

Man könnte auch sagen, dem Raum aller Anfangsbedingungen.

Da kommen wir dazu, das werden wir mathematisch entwickeln und dafür werden wir auch die notwendige Technologie bereitstellen.

Ich habe Ihnen hier noch drei Bücher empfohlen. Schegg, der macht so Sachen auch so ein bisschen geometrischer, so wie wir das machen.

Wir machen es natürlich noch mal ein bisschen anders. Dann Fließbach-Mechanik ist ein Standardwerk.

Arnold Ahner gibt es noch das Buch von Kuiper. Da gibt es viele schöne Beispiele drin.

Heute beginnen wir allerdings mit der Entwicklung des formalen Hintergrundes hierzu.

Das erste Konzept, das wir definieren, ist das sogenannte Tangentialbündel.

Erstens Tangentialbündel.

Ich werde jetzt erstmal mathematische Entwicklungen durchführen, die zunächst mal beliebig anwendbar sind.

Insofern werde ich mich jetzt auch immer mit einer glatten Mannigfaltigkeit M beschäftigen.

Das soll eine d-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit sein.

Aber Sie dürfen sich durchaus jetzt im Kopf behalten, dass in unserer Anwendung nachher das der absolute Raum sein wird.

Da kommt dann noch eine Metrik dazu.

Wir sollten sich nicht vorstellen, dass das nachher die Raumzeit wird. Die hatten wir auch immer M genannt.

Allgemeine mathematische Entwicklung M, das ist der Raum, also D gleich drei im einfachsten Fall.

Nur damit Sie das im Hinterkopf haben.

Insbesondere haben wir hier eine Menge.

Wenn ich zunächst nur diese Menge betrachte, kann ich eine neue Menge definieren.

Die hört auf den schönen Namen TM.

Also nicht T unten PM, das war ja ein Tangentialraum an die Mannigfaltigkeit in einem Punkt.

Sie hört einfach auf den Namen TM.

Die ist aber gebaut aus all den Tangentialräumen an eine glatte Mannigfaltigkeit.

Und zwar indem ich jeden einzelnen Tangentialraum nehme und die in einer großen disjunkten Vereinigung zusammenpappe.

Also wie kann man sich das vorstellen?