Hallo und herzlich willkommen zu der Vorlesung Mathematik für Physikstudierende C.

Wir werden in der heutigen Vorlesung noch einen kleinen, das wird eine ganz kurze Vorlesung,

einen kleinen Fortsatz zur letzten machen mit Vektorfeldern.

Und zwar werden wir Co-Tangentialfelder uns anschauen.

Das ist das Thema der heutigen Vorlesung.

Fassen wir vielleicht noch mal zusammen, was wir jetzt in den vorherigen Vorlesungen alles gesehen haben.

Wir haben irgendwie angefangen mit Mannigfaltigkeiten.

Von da sind wir gekommen auf Bündel.

Das war, was uns die letzten Stunden beschäftigt hat und insbesondere auch eben Schnitte.

Genau genommen sind wir von Mannigfaltigkeiten erstmal auf die Tangentialräume.

Da kannten wir auch den Begriff des Co-Tangentialraums.

Von den Tangentialräumen sind wir rüber gekommen zu den Bündeln und den Schnitten.

Mehr oder weniger wollen wir jetzt dasselbe auch für den Co-Tangentialraum machen,

Bündel und Schnitte zu definieren.

Das sind die Konzepte relativ abstrakt, deshalb möchte ich mit einem ganz konkreten Beispiel anfangen.

Mehr oder weniger auch nur ein Bild, was uns heute beschäftigen wird.

Was ein Beispiel für einen Schnitt im Co-Tangentialraum sein wird.

Wir haben als Mannigfaltigkeit eine offene Menge im R2 gegeben.

Ich mache mal den R2 hin.

Die Farben sind jetzt nicht so wichtig, man kann sie immer noch nicht so gut erkennen, aber das ist okay.

Wenn wir jetzt hier den R2 haben und jetzt schaue ich mir hier auch wieder den Einheitskreis an.

Das ist jetzt mal meine Mannigfaltigkeit.

Das ist nicht die Einheitszähre, sondern der ganze Kreis.

Wir wollen die ganze Fläche hier betrachten.

Das ist jetzt mal meine Mannigfaltigkeit.

Jetzt haben wir eine offene Menge als Mannigfaltigkeit, da kennen wir uns aus.

Das ist relativ leicht.

Wir haben eine Funktion f gegeben.

f bildet von m nach r ab.

Das hier oben wird jetzt der r.

Die zeichne ich jetzt auch mal ein.

Wenn wir jetzt hier hoch gehen, machen wir hier so einen Schnitt drüber.

Wenn wir hier 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, zeichnen wir mal schön.

Ich habe jetzt einfach bloß die Fläche hier hochpolyziert.

Das ist nichts worden.

Das hier wäre der Mittelpunkt.

Das passt schon.

Das ist die Fläche hier hochpolyziert.

Jetzt wäre f eine Kuppel drüber.

Das ist hier praktisch f.

f ist kein wirklicher Halbkreis, aber eine Kuppel über der Menge m.

Das ist ja unser m.

Was wir anschauen wollen, ist das totale Differential.

Das haben wir schon mal kennengelernt in einem Kontext für Manchfaltigkeiten.

Das werden wir heute wieder als Beispiel haben.

Df soll irgendwie etwas sein, was von r hoch n nach r abbildet.

Das ist nämlich so, wie wir das eigentlich kennen.

Was tut dieses Df?

Wenn wir in der Manchfaltigkeit unseren Punkt anschauen, das ist unser p.

Hier ein Punkt.