Hallo und herzlich willkommen zu dieser Vorlesung Mathematik für Physikstudierende C. Wir werden

heute endlich das Thema abschließen bzw. fast abschließen und zwar mit dem Höhepunkt

Differentialformen. Dazu haben wir jetzt in den letzten Vorlesungen genug gemacht. Insbesondere

die Tensorfelder und die Tensorbündel, die wir uns in der letzten Vorlesung angeschaut haben,

geben uns jetzt die Möglichkeit, Differentialformen anzuführen. Auf eine sehr

natürliche Art und Weise, wie wir das schon kennen. Und zwar wiederholen wir nochmal,

was wir hatten. Wir hatten Tensorfelder oder Tensorbündel vielleicht erstmal.

Die Tensorbündel, die wir uns angeschaut haben, haben wir definiert. T, oben R, unten S, von M,

ganz einfach. Oder TM. In dem Fall war glaube ich TM stehen. Genau. Und es war definiert über die

disjunkte Vereinigung, über alle P aus M. Und dann hatten wir hier eben die einzelnen

gemischten Tensoren oder gemischten Tensorräume stehen vom Tangentialraum jeweils am M.

Und genau hier war der Trick, den wir gesehen haben, dass das hier ein Vektorraum ist.

Und deshalb haben wir verstanden, was das hier war. Und dadurch durch die Definition hier haben wir

eben was Globales auf dem ganzen Bündel bekommen. So und jetzt machen wir den Schritt, den wir auch

vorher schon mal im Kapitel zu Tensoren gemacht haben, dass wir aus dem Vektorraum oder beziehungsweise

aus dem ganzen Objekt, das wir hier haben, das hier, wollen wir jetzt durch alternierende

beziehungsweise antisymmetrische Tensoren ersetzen. Also einschränken. Und das liefert dann Schnitte

darauf oder Tensorfelder auf diese Einschränkung, liefert uns dann Differentialformen. Heißt,

der große Schritt wird es sein, das hier zu ersetzen durch, wenn wir uns erinnern, durch

die antisymmetrischen Tensoren der Stufe K. Heißt, Lambda K von TPM. Heißt, der Schritt von den

allgemeinen Tensoren zu den alternierenden antisymmetrischen Tensoren der Stufe K. Das ist

der Schritt, wie ich von allgemeinen Tensorfeldern auf Differentialformen dann auch kommen werde

später. Okay, heißt, dieser Schritt hier ist das, was uns heute die ganze Zeit beschäftigen wird und

das ist auch, was wir dann unter der Differentialform verstehen wollen. Okay, um das aber durchzuführen,

dieses Konzept, dass wir hier was ersetzen, wollen wir erstmal den Begriff, ganz abstrakt,

von einem Untervektorbündel einführen, weil das ist, was wir hier tun, ist, dass wir irgendwie

den Vektorraum, den wir hier kriegen, durch einen Teilraum ersetzen. Und genau ist es ja so,

das ist ein Vektorraum, das gibt mir auch wieder einen Vektorraum als Raum der Multilinearformen und

das als Raum der Multilinearformen ist der hier ein Untervektorraum von dem ganz Blauen hier,

von dem Außen, von dem Großen. Und das ist die Situation von dem Untervektorbündel.

Definition, also Assign. Jetzt brauchen wir eben zwei Vektorbündel, Pi e von e nach b,

machen wir allgemein mit irgendeiner Mannifalligkeit b, Pi d von d nach b, zwei Vektorbündel,

Vektorbündel und es gelte für jedes P aus b, das für die Phasen, also Pi d,

inverse von p, das ist ja gerade gleich dp, sollen Untervektorraum sein. Ja, wir wissen,

dass es ein Vektorraum ist, das ist die Definition von einem Vektorbündel, aber es sollen Untervektorraum

sein von e p in der Phase bezüglich Pi e, Pi e inverse. So, wenn das gilt, dann heißt

d Untervektorbündel von e. Okay, so in der Situation sind wir jetzt.

Und dann können wir vielleicht gleich aufschreiben, was wir wollen, nämlich wir definieren

das alternierende Tensorbündel durch. Ja, und jetzt

kommen eben Lambda k an m jetzt in dem Fall nur. Ja, da fällt mir auf, dass wir hier drüben,

genau Lambda k an t, m. Okay, so passt es also hier können wir t, m hin durch die desjungte

Vereinigung über p Element m. Ja, und jetzt schreiben wir hier einfach überall das Lambda k

von dem Tangentialraum an p hin. M. So, wir definieren das alternierende Tensorbündel durch.

Die Projektion, Projektion Pi ist wieder ganz kanonisch gegeben durch das erste Element hier

einfach. Genau, und erhalten folgende Aussage. Ja, kleines Lämmer, das werden wir auch nicht

beweisen aus Zeitgründen, aber es ist wieder angegeben, wo man den Beweis finden kann,

wenn man will. Und zwar das alternierende Tensorbündel, das alternierende Tensorbündel

Pi, ja, wenn man mal um k Pi k von Lambda k t, m nach m ist ein Untervektorbündel von

von t. Jetzt muss man aufpassen, dass wir es richtig machen und zwar wir wollen 0 k

m. Naja, das war das Tensorbündel t0k m. Genau, gut, das haben wir. Also die Hauptaustage hier,