Hallo und herzlich willkommen zu der Vorlesung Mathematik für Physikstudierende C.

Das ist die letzte in dem Themenblock Differentialformen bzw. Manifaltigkeiten.

Das wird auch ein ganz kurzes Video.

Wir führen nur noch ein einziges Konzept ein.

Es geht schnell und dann sind wir fertig damit.

Was wir uns heute anschauen wollen sind Pullbacks und Push-Forwards.

Also Pullback und Push-Forward.

Und für was kann man das brauchen und was ist das?

Schauen wir uns mal die Ausgangssituation an, die wir hier haben.

Bin ich im Bild?

Die Ausgangssituation ist sein M und N 2 glatte Manifaltigkeiten.

Manifaltigkeiten und jetzt kommt und W seine Differentialform auf N.

Also eine auf N und jetzt ist die Frage, wie, jetzt kommt das Pass und das Keyword,

ziehen wir Omega auf N lambda K von M zurück.

Okay, also Situation ist, wir haben zwei Manifaltigkeiten, wir haben eine Differentialform auf der einen Manifaltigkeit

und wir fragen uns, wie können wir daraus eine Differentialform auf der anderen Manifaltigkeit

oder auf der eine Manifaltigkeit machen?

Und die Antwort ist schon mal ganz grob.

Die Antwort wird sein, mit Hilfe einer glatten Funktion F von M nach N.

Das führt uns dann auf das Konzept des Pullbacks.

Um es einzuführen, brauchen wir aber zunächst den Push Forward, weil der dann benutzt wird.

Schauen wir uns zunächst an.

Definition Push Forward.

Naja, und der Push Forward, den notieren wir typischerweise mit F unten Stern.

Also müssen in der Situation sein M, N glatte Manifaltigkeiten.

Dann definieren wir F von T, P, M.

Wir haben jetzt hier ein P in M gewählt und F, da hat der Manifaltigkeiten,

F soll ja sein aus C und endlich von M nach N.

Also das Bild, das wir eigentlich die ganze Zeit haben können, ist das, wir haben eine Manifaltigkeit hier,

das ist N, darauf lebt unser Omega momentan noch.

Und irgendwo hier unten, oder irgendwo anders, haben wir eine Manifaltigkeit M und F,

das mappt uns hier hoch.

So und hier nehmen wir jetzt einen Punkt aus M, also hier nehmen wir jetzt einen P.

Schauen wir uns da den Tangentialraum an.

Und wir gehen jetzt in den Tangentialraum in N, und zwar gerade an F von P in N.

Das soll der Push Forward machen, heißt der soll uns irgendwie, also F mappt uns ja von P nach F von P.

Und jetzt wollen wir dasselbe praktisch mit Tangentialvektoren machen.

Jetzt wollen wir praktisch Tangentialvektoren von M nach N mappen.

Das heißt da schieben wir etwas nach vorne.

Wir schieben Tangentialvektoren nach vorne über dieses F.

Und wie machen wir das? F Stern von einem Tangentialvektor, das ist jetzt für mich eine Derivation von D.

Und hier drüben muss ich ja auch prinzipiell eine Derivation reinstecken.

Aber wie ich das mache ist, dass ich zusätzlich hier, ich schreibe es mal hin, ich nehme noch ein F.

Und das definiere ich als, mal kurz spicken, dass ich es richtig mache.

D, die Derivation angewendet an F verknüpft mit F, wobei F aus C unendlich von N ist.

Und genau so rüber habe ich mir jetzt eine Derivation in TFP gebaut.

Weil ich brauche ja TFPN, das ist auch der algebraische Tangentialraum, das heißt Elemente hier raus, das ist eine Teilmenge von C unendlich N dual.

Das heißt, wenn ich das für jedes F hier definiere, dann habe ich auf jeden Fall eine passende Abbildung.

Und die definiere ich mir jetzt eben darüber. Ich nehme die ursprüngliche Derivation, die hier reingekommen ist, die kommt da raus.

Also das D kommt aus dem Raum. Und dann definiere ich die Abbildung, indem ich sie punktweise für jedes F aus dem Raum hier so definiere.