Ja, hallo und herzlich willkommen zu dieser Vorlesung Mathematik für Physikstudierende

C.

Jetzt endlich mit einem neuen Themengebiet, das wir heute anfangen werden.

Nachdem wir jetzt die Differentialformen, auch die Manifaltigkeiten abgeschlossen

haben, können wir jetzt endlich mit etwas Neuem anfangen.

Und es soll sein Maße und Integrale.

Das ist so der Übegriff, um den wir uns kümmern werden.

Und zwar, wie die Vorlesung grob aufgebaut sein wird bzw. der ganze Themenbereich ist.

Ganz am Anfang stehen hier die Maße.

Das ist das was wir uns als erstes anschauen werden.

Darüber werden wir auf Integrale kommen.

Beziehungsweise im Speziellen werden wir hier das sogenannte Lebesque Integral einführen.

Und von diesen Integralen eine ganz natürliche Voraussetzung oder Fortsetzung sind Integrationstechniken.

Diese Integrationstechniken ist dann praktisch das was wirklich Rechnen mit Integralen sein

wird.

Ok, das ist der Überblick und jetzt werden sie sagen, aber Moment mal, Integrale kennen

wir doch schon.

Wir kennen doch das Integral aus den vorherigen Vorlesungen und was soll da jetzt noch groß

kommen?

Schauen wir uns mal an was wir bisher kennen.

Wir kennen das sogenannte Riemann Integral.

Das Riemann Integral.

Ok, die Situation die Sie hier kennengelernt haben ist das folgende.

Das sei f von einem Intervall ab nach r eine Funktion.

Und anschaulich interessieren wir uns für die Fläche unter dem Grafo.

Was ist das?

Naja, machen wir mal ein Bild.

Und zwar sehen wir hier das folgende.

Hier ist a, hier ist b und wir haben jetzt eine Funktion hergegeben.

Dann interessieren wir uns praktisch dafür.

Jetzt wurde b umgesetzt, weil ich es nicht getroffen habe.

Dann interessieren wir uns praktisch für diese Fläche hier.

Die wollen wir bestimmen.

Und wie haben wir das mit dem Riemann Integral gemacht?

Oder was war die Idee von Riemann?

Die Idee von Riemann war zu sagen, wenn das so ist, dann nehme ich hier was von dem ich

sicher weiß wie lang es ist.

Und was ist sowas?

Naja, indem ich hier immer Stützstellen reinsetze, dann kann ich hiervon die Länge messen.

Dann setze ich hier überall praktisch Stützstellen rein.

Und jetzt approximiere ich die Funktion eben über eine Stufenfunktion, indem ich hier

nach oben gehe und an irgendeinem Punkt den Funktionswert nehme.

Und dann gehe ich hier hin und nehme da auch den Funktionswert.

Dann kriege ich den anderen Balken.

Dann kriege ich hier hoch und kriege dann den Balken und so weiter.

Das heißt, wenn wir hier noch hoch gehen, dann nehmen wir vielleicht den.

Das heißt, beim Riemann Integral war die Idee, unter Teile den Definitionsbereich

und approximiere die Funktion durch Stückweise konstante Funktionen.

Okay, wie hat man das dann genau gemacht?

Naja, dazu sei a kleiner gleich x0 kleiner.