Hallo und herzlich willkommen zu der heutigen Vorlesung Mathematik für Physik Studierende

C.

Wir haben uns in den letzten Vorlesungen damit beschäftigt, was ein Maß ist und warum wir

das brauchen.

Und wir wollen heute etwas sehr schönes, sehr anschauliches tun.

Und zwar wollen wir ein Maß konstruieren.

Und zwar nicht irgendein Maß, sondern mehr oder weniger das wichtigste Maß, das Sie

benutzen und benutzen werden, das sogenannte Lebesg-Maß.

Auf dem Weg dahin werden wir erstmal den Lebesg-Inhalt einführen.

Das ist das, was wir heute machen.

Aber schonmal vorweg, was das Lebesg-Maß sein soll, das ist etwas sehr Vernünftiges.

Lebesg-Maß nach Henri Lebesg.

Das Lebesg-Maß, das hier, das soll sein ein Borell-Maß auf R hoch D.

Das ist die erste Eigenschaft.

Ja, das sind zwei Sachen, die uns eigentlich sehr sympathisch sind.

Das erste ist schonmal R hoch D.

Das ist jedem von uns sympathisch, weil das ist der Raum, den wir uns am besten vorstellen

können.

Und das zweite, was ist, wenn ich nicht aus der Frame, sollte ich mal kurz schauen.

Oh ja, da bin ich ein bisschen aus der Frame.

Okay, hier die Linie hin und hier drüben hier.

Also, dass es am R hoch D ist, ist schön.

Und dass es ein Borell-Maß sein soll, das kommt uns doch auch sehr vernünftig vor, weil

Borell-Maße sind ja schließlich die Maße, die wir zusammen mit einer Topologie verknüpfen

konnten.

Wenn wir jetzt die Standard-Topologie auf dem R hoch D noch haben, dann ist das was

sehr angenehmes.

Aber es kommt noch viel schöner, was das Lebes-Maß nämlich sein soll.

Worüber es charakterisiert ist, soll Volumen von Quadern messen.

Das ist erstmal sehr vage, was ich da hinschreibe.

Messen auch in Anführungszeichen.

Aber was wir jetzt dann auch gleich formalisieren werden, was wir in 1D zum Beispiel haben wollen,

ist das Lambda von, das ist Lebes-Maß, Lambda von A, B hier.

Das soll gleich Lambda von A, B mit den Punkten rausgenommen, gleich Lambda von vielleicht

halboffen hier, A, B.

Und das soll gerade A minus B sein.

Respektive, das wäre jetzt im R1, im ein-dimensionalen Fall im R2.

Könnte man zum Beispiel sagen, dass Lambda von W gleich L ist, wobei L², wobei W Würfel

der Länge L.

Oder wenn wir noch ein Bild malen hier im R2, dann können wir sagen, wir haben hier

einen Quadern, der hat die Länge, oder der hat hier die Breite B und die Länge L.

Und dann soll Lambda sowas sein wie B mal L.

Okay, heißt, wie wir uns das Lebes-Maß, was das Lebes-Maß sein soll, das ist der Wunsch.

Das soll ein Borell-Maß auf R hoch D sein, das irgendwie die Eigenschaft hat, diese

Quadern zu messen.

Okay, alles das sind schöne Sachen, die sind uns eigentlich, wie gesagt, sehr sympathisch.

Und das werden wir jetzt tun.

Und das nächste, das erste, was wir dazu tun werden, ist diese Quadr-Idee ein bisschen

zu formalisieren.

Okay, also das erste, was wir uns anschauen, sind Quadr im Rd, das nennt man manchmal auch