Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nirnberg präsentiert.

Guten Morgen, willkommen zur 19. Vorlesung. Heute beschäftigen wir uns mit der allgemeinen

unscharfen Relation. Wir hatten die unscharfe Relation ja schon getroffen im speziellen

Beispiel, aber jetzt wollen wir uns das doch ganz kurz noch mal klar machen, wo die denn

allgemein herkommt und noch ein, zwei Worte dazu verlieren. Also wir gehen jetzt wieder

weg von unserer direkten Anwendung. Das Wasserstoffatom ist immer so ein Höhepunkt der Quantenmechanik-Vorlesung.

Ich werde jetzt die nächsten beiden Male noch Anwendungen machen der Quantenmechanik,

Festkörperphysik und solche Geschichten. Aber das ist noch ein wichtiger Punkt. Und

um die allgemeine unscharfe Relation anzuschauen, betrachten wir ein quantenmechanisches System

in einem Hilbertraum H. Also wir gehen nochmal solide in das allgemeine Rahmenwerk. Alles

was wir hier sagen, gilt ziemlich allgemein. Und zunächst mal ein, zwei Begriffsklärungen

nochmal Erwartungswert, Varianz und sogenannte höhere Momente. Okay, also wofür interessieren

wir uns hier? Wir interessieren uns immer für Observablen, also sei A eine quantenmechanische

Observable unseres Systems. Und wenn wir ja schon einen Hilbertraum H haben, dann heißt

das, dass es A auf einem in H dicht liegenden Definitionsbereich auf jeden Fall gegeben ist

und linear nach H geht. Allerdings werden wir jetzt des Öfteren auch Quadrate von Operatoren

anschauen, also die Hintenlande Ausführung von A mit A. Aber nachher haben wir noch einen

Operator B, dann auch A mit B und so weiter. Ich sage jetzt einfach mal hier der Einfachheit

zuliebe. Aber der Einfachheit zuliebe betrachten wir alle Operatoren, die vorkommen auf einem

Definitionsbereich D und die Abbildung soll auch wieder in dem D landen, dann können

wir die unbeschränkt hintereinander ausführen und auch Produkte verschiedener Operatoren

betrachten, B von D nach D etc. Dann müssen wir uns jetzt nicht laufend Gedanken darum

machen. Okay, selbstverständlich im Spezialfall mag das etwas allgemeiner sein, was man hinschreibt,

aber es ändert nichts daran, wenn sich Operatoren hintereinander ausführen wollen, muss der

Definitionsbereich des zweiten Operators, der ausgeführt wird, muss natürlich den Wertebereich

des ersten enthalten. Okay, also wir schauen uns sowas an und dann gibt es diese ganz

einfachen Definitionen, die kennen Sie sicher schon. Der Erwartungswert, den nennen wir E

der Erwartungswert EpsiA bezüglich eines Psi, naja aus dem Definitionsbereich, aber ich

werde jetzt in Zukunft wohl manchmal einfach H schreiben. Der Erwartungswert EpsiA ist einfach

definiert als EpsiA ist das innere Produkt Psi mit A angewendet auf Psi und damit wir

hier nicht laufend durchnormieren müssen, also ich könnte jetzt noch schreiben durch

PsiPsi sagen wir hier gleich mal OBDA, ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir

uns immer normierte Psis her und Sie sehen schon der Erwartungswert bezüglich eines

Psi, eigentlich aus quantenmechanischer Sicht soll ich sagen bezüglich eines RoPsi, eines

Psi zugeordneten Zustandes ist das hier, okay, da steht es. Das ist der Erwartungswert, dann

eine Größe die häufig vorkommt ist die sogenannte Varianz, da schreiben wir vielleicht Varianz

VAR bezüglich Psi, dieses A und die ist definiert als, kann man auf verschiedene Art beschreiben,

ich schreibe es mal so, als der Operator minus sein Erwartungswert mal Identität zum Quadrat,

ich mache das Quadrat mal gelb, zum Quadrat Psi, wieder für OBDA normiertes Psi, das ist

die sogenannte Varianz und die nennt man auch das zweite in Klammern zentrierte Moment

hier, auch genannt zweites zentriertes Moment, das zentriert bezieht sich hier auf diesen

Teil, dass man halt erstmal von dem A seinen Erwartungswert mal der Identität abzieht,

wenn man hier das hier nicht hingeschrieben hätte, dieses Minus Ea it, sondern einfach

nur a Quadrate wäre es das sogenannte zweite Moment und das zentrieren das ist ganz geschickt,

ok offensichtlich wenn man den Erwartungswert kennt und die Varianz kann man aus dem zweiten

zentrierten Moment ja wieder das zweite Moment extrahieren, da geht ja keine Information

verloren.

Gut und Sie sehen schon, man kann dieses Spielchen weiter treiben, man kann die sogenannten

höheren Momente definieren, höhere z.B.

Ente Momente, ja weiß ich eigentlich nicht, wie man die beschreiben will, Mn, keine Ahnung,