Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Guten Morgen, willkommen zur 20. Vorlesung in diesem Jahr.

Heute besprechen wir eine weitere Anwendung. Wir hatten ja schon das Wasserstoffatom gemacht.

Das ist natürlich eine ganz große Anwendung für die Quantenmechanik.

Aber es gibt auch, vor allem in der Festkörperphysik, im Verständnis der Festkörper, spielt die Quantenmechanik natürlich eine enorm große Rolle.

Und heute betrachten wir ein ganz einfaches Modell, und zwar ein eindimensionales Modell eines Festkörpers.

Das kann man aber ohne Weiteres in drei Dimensionen ausweiten.

Das macht es nur ein bisschen kompliziert, aber im Prinzip nicht anders.

Und zwar schauen wir uns an, ein Festkörper, und jetzt mal so ganz grob gesagt, ein dimensionaler Festkörper,

der besteht halt irgendwie aus Atomen, die male ich jetzt einfach halt nur mal so schematisch als kleine Kügelchen dahin.

Das ist natürlich quantenmechanisch anders und so weiter.

Und es geht halt immer so weiter in beide Richtungen.

Und die Idee ist, dass sich dieses Muster hier, wie da die Elektronen angeordnet sind, wiederholt sich mit einer Periode A.

Also ein regulärer, ein regelmäßiger Festkörper.

Natürlich hätte man das nachher in 3 Dimensionen.

Das sind quasi die Konstituenten dieses Festkörpers.

Und was man sich jetzt gerne überlegt, das ist natürlich eine ganz einfache Frage, man kann sich viel kompliziertere Fragen stellen.

Die Idee ist, wie bewegt sich denn jetzt ein Elektron in diesem Festkörper?

Also irgendwie kann man sich da noch so ein Elektron denken.

Und wie bewegt sich das in dem Festkörper?

Und das ist ja gut, wenn das Elektron mit diesen Körperkonstituenten, Festkörperkonstituenten nicht wechselwirkt, dann bewegt sich natürlich wie ein freies Teilchen.

Aber wenn es wechselwirkt, zum Beispiel über elektromagnetische Wechselwirkung, dann wird es auf jeden Fall, wenn es da jetzt irgendwie fliegt,

wenn man mal so klassisch denkt, ja das bewegt sich so, würde es immer wieder so einen Ruckeln spüren, weil da eben periodisch irgendwas ist.

Also zum Beispiel irgendwie, wenn es hier mit Wechsel wirkt, wird die Wechselwirkung anders sein, wenn es weiter weg ist.

Aber wenn es dann genau um eine Periode A weiter verschoben ist, sollte die Welt für dieses Elektron immer wieder gleich aussehen.

Und jetzt kann man sich natürlich sagen, naja, aber da gibt es ja vielleicht noch andere Effekte als jetzt nur irgendwie da die elektromagnetische Wechselwirkung,

gut, in Wirklichkeit wird es da eng, aber wie modelliert man das?

Und man kann sagen, kann uns ja mal ganz egal sein, was da genau passiert, ein gutes Modell für einen Festkörper im Sinne als Hintergrund für ein Elektron,

also als Hintergrund für die Elektronenbewegung, die wir natürlich quantenmechanisch beschreiben sollen, ist ein periodisches Potential.

Also Potential V, das aber die Eigenschaft hat, wenn ich da um diese Periode A nach rechts gehe, egal wo ich bin, da soll das Potential wieder das Gleiche sein.

Und deswegen denken wir uns diesen Festkörper auch unendlich weit ausgedehnt.

Da kann man natürlich sagen, was ist denn das für ein Unsinn, jeder Festkörper ist ja irgendwie endlich weit, naja, aber für das Elektron zunächst mal faktisch unendlich.

Und dann haben Sie ein Potential mit einer solchen Eigenschaft.

Vielleicht erinnern Sie das ja noch aus der klassischen Mechanik, so ein Potential ist ja eigentlich, das ist ja so eine Art grob Physik,

denn Sie verstehen gar nicht genau, wodurch das Potential zustande kommt und Sie sagen, ich muss es auch gar nicht verstehen,

ich weiß nur, da ist so ein Potential, das letztlich alle Effekte subsummiert.

In diesem Potential, in der genauen Form des Potentials, verstecke ich alle Effekte und wir wollen uns überhaupt nicht festlegen,

wie dieses Potential im Einzelnen aussehen soll, sondern nur, dass es eine solche Periodizität hat.

Und ein Teilchen, das sich in einer solchen Welt mit einem solchen Potential befindet,

ich denke, ja gut, irgendein Festkörper, der wird schon irgendwie so aussehen. Also als Hintergrund, wir machen noch zwei technische Annahmen.

Die erste ist, dass dieses Potential stückweise, stetig oder sogar differenzierbar, was haben wir da überlegt gehabt,

wenn es hier stetig reicht, stückweise stetig und beschränkt.

Das heißt aber auch, dass es an endlich vielen Punkten Sprünge machen darf, das Potential.

Es ist nur stückweise stetig, das heißt, an endlich vielen Punkten darf es zum Beispiel springen.

Wir reden ja immer von der Standard-Topologie.

Zum Beispiel, wenn man mal konkret was durchrechnen wollte, könnte man sich zum Beispiel so ein Potential anschauen,

da ist irgendwie für eine Länge b ist da nichts, dann springt es plötzlich auf einen Wert von Null.

Und dann sind wir hier angekommen, also hier ist b, dann sind wir angekommen bei a.

Also diese Breite hier ist b minus a, dann habe ich hier von Null bis a und dann wiederholt sich das Ganze.

So, dann springt es hoch, dann geht es so und so weiter und genau das gleiche hier nach links.