Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, hallo. Wir haben ja in den letzten Vorlesungen über Potenzreihen und

Furiereien gesprochen und das sind Beispiele für Funktionenreihen. Diese Potenzreihen sind ja die

Folgen der Partialsummen und das sind jeweils Polynome, also Potenzreihen entsprechen

Polynomfolgen. Bei den Fourierreihen sind das trigonometrische Polynome und die

Frage ist, was ist da der richtige Konvergenzbegriff? Wir haben ja am Anfang

über die Konvergenz von Zahlenfolgen gesprochen. Da haben wir einen

Konvergenzbegriff definiert, der dann als Liemes bezeichnet wird, der

Grenzwert, wenn er existiert. Und da haben wir ja den Abstand zwischen dem

Grenzwert und diesen Folgengliedern a n gemessen und dieser Abstand zwischen den

Folgengliedern und dem Grenzwert als Betrag gemessen, der musste irgendwie

klein werden, wenn das n groß genug ist. So, jetzt haben wir stattdessen ja eine

Folge von Funktionen und da ist die Frage, wie definiert man da sinnvollerweise die

Konvergenz? Wir haben ja schon Konvergenzsätze kennengelernt für die

Potenzreihen und die Fourierreihen und da haben wir immer einen Punkt eingesetzt,

ein x festgesetzt in dieser Funktion und für ein festes x liefert dann die

Funktionenreihe ja eine Zahlenreihe und dann können wir natürlich den ganz

normalen Zahlenkonvergenzbegriff für Zahlenfolgen verwenden, aber die Frage

ist, ob das immer sinnvoll ist, ob es nicht auch einen anderen Konvergenzbegriff

gibt und die Antwort ist natürlich ja, den gibt es und den wollen wir heute

einführen. Also Thema Folgen und Reihen von Funktionen.

Erst mal kommen unsere beiden Beispiele. Erstens Potenzreihen sind Reihen von

Polynomen, sehen so aus ak mal x hoch k.

Das zweite Beispiel, die Fourierreihen sind Reihen trigonometrischer Funktionen

und die sehen so aus ak mal cosinus k mal x plus bk mal sinus k mal x.

Jetzt wollen wir eine einheitliche Theorie für allgemeine Funktionenreihen

entwickeln. Jetzt definieren wir erstmal, was wir damit meinen. Allgemeiner betrachtet

man Folgen von Funktionen. Zuerst kommen die Funktionen folgen und dann kann man

die aufsummieren und auf diese Weise Funktionenreihen erhalten. Wir haben einen

Definitionsbereich D, sei D Teilmenge L. Erstens ordnet man jedem Index n aus n

eine Funktion Fn von D nach L zu. So bilden diese Funktionen Fn eine

Funktionenfolge. So ist dieses Objekt der Funktionen Fn. Das n durchläuft die

natürlichen Zahlen 1 2 3 und so weiter. Eine Funktionenfolge. Das kürzen wir mit

Doppelf ab. Die Funktionenfolge sieht also von der Notation her genauso aus wie eine

Zahlenfolge. Der Unterschied ist, dass diese Fn jetzt eben Funktionen sind und

keine Zahlen. Man kann auch schreiben Fn von x, um klar zu machen, dass das

Funktionen sind. Und aus den Zahlenfolgen haben wir ja Reihen gemacht, indem wir

die Zahlen einfach aufsummiert haben und so können wir aus den Funktionenfolgen

auch Funktionenreihen aufbauen. Ist also Fn n aus n eine Funktionenfolge. So heißt

die Folge Sn n aus n der Partialsummen

Sn von x ist die Summe von k gleich 1 bis n der Fk von x für x aus D. Das Objekt

heißt dann eine Funktionenreihe.

Da gibt es die übliche Schreibweise, für die man Summe von n gleich 1 bis

unendlich Fn schreibt. Das ist erst mal ganz formal geschrieben.

Hier stellen sich dann natürlich auch wieder die Fragen der Konvergenz.

Also wie bei den Zahlenreihen haben wir hier auch diese Partialsummen und die

Funktionenreihen sind auch einfach die Reihen der Partialsummen. Und das haben

wir ja bisher auch schon betrachtet, für die Potenzreihen und die Foliereihen. Und

da haben wir ja wie gesagt die Punktweise Konvergenz betrachtet. Für ein festes x

erhalten wir dann bei diesen reellwertigen Funktionen jeweils eine