Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

In der letzten Vorlesung haben wir uns ja mit der Optimierung von Funktionen befasst,

mit der Minimierung von Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen.

Und da haben wir die notwendige Optimalitätsbedingungen formuliert, dass der Gardient verschwinden muss

in stationären Punkten im Inneren des Definitionsbereichs.

Wir haben uns auch schon mit der hinreichenden Optimalitätsbedingung beschäftigt,

dass wenn die Hessische Matrix zusätzlich noch positiv definiert ist,

wir sicher wissen, dass es sich dann um einen lokalen Minimalpunkt handeln muss.

Und wir betrachten jetzt mal ein Beispiel, eine Funktion von drei Variablen

von x, y und z. Das ist ein Polynom in x, y und z, und zwar x hoch 3 minus y hoch 3 plus x, y, z plus z².

Und wir interessieren uns jetzt für die stationären Punkte dieser Funktion.

Die stationären Punkte sind ja die Punkte, wo der Gradientenvektor verschwindet.

Wir rechnen also erstmal den Gradienten aus.

F an der Stelle x, y und z, müssen wir erstmal nach x partiell differenzieren und erhalten 3x² plus y mal z.

Die partielle Ableitung nach y ist minus 3y² plus x mal z.

Und dann haben wir die partielle Ableitung nach z.

Das sind 2z aus dem z² plus x mal y.

Und bei den stationären Punkten gilt, der Gradient ist Null.

Also der Gradient F an der Stelle x, y, z verschwindet in diesen Punkten.

Der Gradient hat hier ja 3 Komponenten. Wir haben also 3 Gleichungen,

die in den stationären Punkten für unsere 3 unbekannten x, y und z erfüllt sein müssen.

Das ist ein nicht lineares Gleichungssystem.

Also da muss man jetzt versuchen, durch geschicktes Umformen die Lösung zu bestimmen.

Die erste Gleichung nennen wir 3x² plus yz gleich Null.

Und diese erste Gleichung, die multiplizieren wir jetzt mal mit x.

Dann kriegen wir nämlich x, y, z heraus.

Und wenn wir die zweite Gleichung mit y multiplizieren, kriegen wir auch x mal y mal z heraus.

Also erste Gleichung mal x liefert, Ruhmisch 1, 3x hoch 3 plus x mal yz gleich Null.

Die zweite Gleichung multiplizieren wir wie gesagt mit y.

Die zweite Gleichung mal y liefert minus 3y hoch 3 plus x mal y mal z ist gleich Null.

Und dann haben wir noch die dritte Gleichung, die lassen wir jetzt mal weg.

Hier können wir ja die Gleichungen addieren oder voneinander abziehen.

Eher genau 1 minus 2 rechnen wir.

Und dann fällt dieses Produkt x mal yz heraus.

Das ist sehr gut.

Dann wird das Ergebnis sehr übersichtlich.

Wir erhalten 3x hoch 3 plus 3y hoch 3 ist gleich Null.

Und das ist natürlich Äquivalent zu x hoch 3 gleich minus y hoch 3.

Und diese Kurve für x hoch 3 ist sehr streng monoton wachsend.

Also das können wir sehr gut auflösen.

Das heißt einfach y gleich minus x.

Also wir können jetzt das y schon durch das x ausdrücken.

Und jetzt müssen wir nur noch das z ansehen.

Das kriegen wir aus der dritten Gleichung.

2z plus x mal y gleich Null.

Also wir erhalten 2z ist gleich minus x mal y.

Aber das y ist ja minus x.

Das können wir hier einsetzen.

Dann erhalten wir x Quadrat.

Oder wir können auch das minus x durch y ersetzen.