Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir haben ja in der letzten Vorlesung die Wegintegrale eingeführt, noch mal zur Wiederholung.

Wegintegrale funktionieren folgendermaßen, man hat ein Gebiet dmr hoch n. Gebiete haben wir ja in

der Vorlesung definiert, das sind offene wegzusammenhängende Mengen und wegzusammenhängt

ist eine Menge, wenn zwischen beliebigen Punkten aus der Menge ein Weg existiert,

der ganz in der Menge drin liegt. Und da auf diesem Gebiet hat man ein Vektorfeld von d nach r hoch n.

Das können Sie sich vorstellen, an jedem Punkt in diesem Gebiet d, das ist ja ein Punkt im r hoch n,

klebt noch mal so ein Pfeil, ein Vektorpfeil im r hoch n. Also das ist die anschauliche Vorstellung

für so ein Vektorfeld und durch dieses Gebiet haben wir jetzt so einen Weg x von t, der bildet

ein Intervall ab in dieses Gebiet d hinein und damit die Wegintegrale definiert sind,

muss das ein stetig differenzierbarer Weg sein, da kann man also jedem Zeitpunkt auch eine

Geschwindigkeit x' von t zuordnen. Stetig differenzierbarer Weg. Und wie ist jetzt

das Wegintegral definiert? Also die Notation ist so, das ist ja der Weg w und man integriert bei

dem Wegintegral über den Weg, deshalb schreibt man das w dann unter das Integralzeichen, das heißt,

das ist ein Wegintegral und man integriert ja das Vektorfeld f über diesen Weg, das schreibt man

als nächstes dahin f und dann ist ja f ein Vektorfeld und damit da was Skalares rauskommt,

schreibt man so ein Skalarproduktkringel und dann die groß x und das große x ist halt diese

Abbildung und das Wegintegral können Sie sich immer so vorstellen wie eine Arbeit, also wenn Sie

einen Massenpunkt durch so ein Kraftfeld bewegen, dann wird der Arbeit verrichtet und die kann man

mit so einem Wegintegral berechnen und zwar rechnet man das aus als das Integral von a bis b,

also über dieses ich sag mal Zeitintervall, wo der Weg durchlaufen wird, dann setzt man in dieses

Vektorfeld f x von t ein, dann hat man f von x von t und multipliziert das mit der Geschwindigkeit

x Strich von t dt. Das ist die Definition dieses Wegintegrals, damit kann man die Wegintegrale

immer berechnen und ob das jetzt einfach ist oder schwierig hängt dann von f und x ab,

aber manchmal vereinfacht sich die Berechnung der Wegintegrale ganz dramatisch und zwar wenn

dieses Vektorfeld f eine spezielle Struktur hat, wenn das ein Potentialfeld ist, also wenn man das

Vektorfeld als Gradientenfeld eines Potentials phi ausdrücken kann. Also wie war das mit dem

Potential? Die Abbildung phi, die ist reellwertig, also eine Abbildung von d nach r, die ist ein

Potential für Vektorfeld f, falls gilt der Gradient von phi, also der muss dazu natürlich

existieren, das heißt die partiellen Ableitungen von phi müssen alle existieren, der Gradient von

phi ist gleich dem vorgegebenen Vektorfeld f. Wenn ein Vektorfeld ein Potentialfeld ist,

dann kann man das Wegintegral einfach berechnen, indem man das Potential am Anfangspunkt des Weges

auswertet und am Endpunkt des Weges und dann die Differenz dieser Potentialwerte bildet.

Also dann gilt dieses Wegintegral integral w f kringle dx ist gleich phi vom Endpunkt von x von

b minus phi von x von a. Hier sehen Sie also so eine Potentialdifferenz, die Potenziale sind

nicht eindeutig bestimmt, aber die unterscheiden sich nur um additive Konstanten, die fallen dann

weg, wenn man den Gradienten bildet und bei den Differenzen fallen die natürlich auch weg.

Hier sind also nur Anfangs und Endpunkt des Weges entscheidend für den Wert dieses Wegintegrals.

Wir fachten dazu einmal ein Beispiel, phi von x und y ist gleich ein halb mal x Quadrat plus y Quadrat.

Das kann man auch schreiben als halb mal die Norm des Vektors x y zum Quadrat,

wobei das die euklidische Norm ist. Also hier gehen wir mal anders vor,

wir geben uns das Potenzial vor. Dieses Potenzial besitzt ja einen Gradienten und

zu dem Gradientenfeld ist das natürlich das Potenzial. Also das Vektorfeld f von x y ist

hier Gradient von phi an der Stelle x y und den Gradienten können Sie ja leicht berechnen,

indem Sie die partiellen Ableitungen berechnen. Dann können Sie mir ja mal sagen, was da herauskommt.

Was ist die erste Komponente? Partielle Ableitung nach x.

Also x klang schon gut. Hier steht hoch eins, also da muss ich gar nichts ableiten.

Jetzt leiten Sie die Klammer ab. Genau, das ist schon alles.

Und weil es so schön war, jetzt noch mal die partielle Ableitung nach y.

Genau, und das ist da y, also kurz ist das x y. Vielen Dank.