Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir werden uns heute noch mal ein bisschen mit den natürlichen Zahlen beschäftigen und ich hoffe,

dass wir es heute schon schaffen, dann uns Gedanken zu machen über die ganzen Zahlen,

sodass wir dann vielleicht, wenn alles sehr gut läuft, dann zumindest gleich am Anfang

nächste Woche die rationalen Zahlen besprechen, um dann sozusagen Zeit zu

haben, noch vier Tage für the real stuff, für die reellen Zahlen.

Herr Schulz hat es ja mit Ihnen besprochen. Es sieht jetzt wohl so aus, dass nur

einige von Ihnen dann morgen wegen der Zeugnisausgabe nicht da sein werden.

Insofern werden wir morgen noch mal das Programm machen. Die, die verhindert sind,

ist ja klar, dass sie dann sowohl anhand des schriftlichen Materials, auch anhand

der Aufzeichnungen dann die Vorlesung nacharbeiten können und natürlich auch

sollten. Gut, zurück zu den natürlichen Zahlen.

Wir hatten ja gesehen, der wesentliche definierende Baustein bei den

Pianoaxiomen ist das Pianoaxiom 2, die Existenz der Nachfolgerfunktion, die uns

wiederum sofort die vollständige Induktion gibt. Ich erinnere noch mal an

die vollständige Induktion. Wir werden noch ein paar Varianten davon besprechen,

weil sie schon ein wesentlicher Baustein ist, um eben Aussagen über oder

formuliert in natürlichen Zahlen beweisen zu können.

Okay, hier steht noch mal die Pianoaxiome zur Erinnerung. Wir haben also gesagt, wir

haben eine Zahl, die nennen wir Null, die hat keinen Nachfolger, ansonsten haben wir

eine Nachfolgerfunktion, die ist injektiv und wir wissen insbesondere, wenn eine

Teilmenge der so entstehenden natürlichen Zahlen, das ist hier ein

Druckfehler, es muss Null heißen, die Eigenschaft enthält die Null und

mit jedem Element enthält sie auch den Nachfolger, dann ist das nur möglich,

indem die ganze Menge der natürlichen Zahlen ist. Das ist das

zweite Pianoaxiom und das wiederum ist die Basis der vollständigen Induktion

und es ist auch die Basis des folgenden Satzes, der recht

selbstverständlich daherkommt.

Also ich erinnere noch mal an die vollständige Induktion, wir werden es

gleich machen, ich muss es jetzt nicht machen, beweisen, da schauen wir uns

erst mal diesen Satz an, der kommt ganz selbstverständlich daher und er sagt, die

natürlichen Zahlen, die wir so definiert haben, die haben folgende

Eigenschaft, wenn ich mir irgendeine nicht leere Teilmenge der natürlichen

Zahlen hernehme, dann hat diese Menge ein Minimum, noch mal was war ein Minimum, ein

Minimum ist eine untere Schranke, die zur Menge selbst dazugehört und zwar die

einzige Voraussetzung ist, dass die Menge, die Teilmenge nicht leer ist. Wie ist

das denn mit der leeren Menge? Welche Zahlen sind denn untere Schranke der

leeren Menge? Mal so nebenbei gefragt.

Leere Menge ist ja auch eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Welche

natürlichen Zahlen sind untere Schranke der leeren Menge? Zum Beispiel welche

noch? Keine anderen? Mit 0 kann man schon mal nicht wirklich falsch liegen, denn

so schrecklich viel kleiner als 0 wird es nicht, aber ich behaupte jede

natürliche Zahl ist eine untere Schranke der leeren Menge, denn wenn sie keine

wäre, dann müsste es ja ein Element aus der betreffenden Menge, aus der Menge der

aus der leeren Menge geben, was größer als diese Schranke ist.

Entschuldigung, wir reden über untere Schranke, was echt kleiner ist als

diese Schranke und das gibt es nicht. Also dass wir hier die leere Menge

ausschließen, das ist okay, aber ansonsten keinerlei weiteren Voraussetzungen. Wie

ist das denn mit anderen Zahlmengen? Die werden natürlich noch nicht eingeführt

haben, aber die sie schon kennen. Wie ist das auf den ganzen Zahlen? Hat auf den