Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Generelle Vorbemerkung ist, den Text, den Sie bekommen haben, der jetzt auch nicht von

heute auf morgen natürlich entstanden ist, sondern schon über die Jahre auch wächst,

ist trotzdem nicht hundertprozentig fehlerfrei. Kein mathematischer Text ist hundertprozentig

fehlerfrei, würde ich mal behaupten. Das liegt einfach daran, dass viele kleine Fehler in

sofern schwer zu finden sind, weil man sie immer wieder überliest, denn man weiß ja,

was dort stehen soll. Das ist aber jetzt keine Entschuldigung dafür. Was ich jetzt noch zusätzlich

festgestellt habe, ist, dass in dem jetzt aktuellen Abschnitt 4.1 und zum Teil wohl

auch in 4.2 sich das etwas häuft, weil der letzte Korrekturdurchgang, den die studentische

Hilfskraft gemacht hat, anscheinend nicht nachkorrigiert worden ist. Das ist bei uns

irgendwie durchs Raster gefallen. Wir werden vielleicht ein, zwei Seiten, wo es vehement

ist, dann nochmal neu hochladen oder nochmal einen revidierten Text hochladen und dann

nochmal darauf hinweisen, was die Seiten sind. Ganz generell wird es natürlich auch in absehbarer

Zeit dann eine neue Version geben, auf die, wenn sie möchten, dann auch zugreifen können.

Generell gilt natürlich immer, wenn ich was durcharbeite und in irgendwas stutzig werde,

dann ist erst mal die Vermutung, ich verstehe es nicht. Und die zweite Vermutung ist natürlich,

das könnte schon irgendwie ein Schreibfehler sein. Das heißt also, wenn Sie sich da unsicher

sind, fragen Sie, fragen Sie Herrn Schulz oder fragen Sie mich, ist das denn so in Ordnung,

wie es da steht? Natürlich kann das auch falsch sein. Viele Fehler korrigieren sich mehr oder

minder fast automatisch. Das sind Dinge, die entstehen, wenn man mit Buchstaben wie M und

N umgeht, dann sind die leicht mal verwechselt, sowohl beim Hinschreiben als auch dann beim

Technen selbst. Aber es können natürlich auch richtige inhaltliche Fehler drin sein.

Also kurz und gut, das ist sozusagen lang unserer Linie nicht glauben, sondern nachprüfen.

Okay, also was wir heute vorhaben, ist die Idee umzusetzen, die wir das letzte Mal so

ein bisschen entwickelt haben, wie wir sozusagen mit unseren Methoden, das heißt die Methoden

der Mengenlehre, aus den natürlichen Zahlen die ganzen Zahlen entwickeln können. Wir

haben gesehen, ganze Zahlen, das ist sowas wie Differenzen. Das sind die Differenzen,

die wir schon haben, wie 5 minus 2 und das sind die Differenzen, die wir noch nicht haben,

wie 2 minus 5. Das heißt also, die Idee ist, als wohl definierte Grundmenge später, wenn

wir dann mal die ganzen Zahlen haben, vergessen wir natürlich diese Konstruktion und arbeiten

nur mit den Eigenschaften, die die ganzen Zahlen haben, als Grundmenge das Produkt der

natürlichen Zahlen mit sich selbst herzunehmen und dann auf dieser Grundmenge alle die Operationen,

die wir brauchen, also eine Addition, eine Multiplikation und eine Ordnung einzuführen.

Das hat jetzt ein größeres Problem, was heißt größeres, das hat ein Problem, nämlich

die Uneindeutigkeit dieser Prozedur. Die Zahl 2 kann ich eben als 4 minus 2, also als Paar

4, 2 mir vorstellen, aber natürlich genauso gut als das Paar 6, 4. Das sind in der Differenz

auch 2. Das heißt, ich muss viele dieser Paare identifizieren. Die nächste Frage ist, wo

bekomme ich meine Inversen her? Das ist ja der eigentliche Sinn der Übung. Das ist

sozusagen das Defizit, was die natürlichen Zahlen haben. Ich kann keine Inversen bezüglich

der Addition bilden und dementsprechend kann ich auch nicht allgemein lineare Gleichungen,

also Gleichungen vom Typ x plus a gleich b lösen in den natürlichen Zahlen. Wenn man

jetzt in dieser Idee weiterdenkt mit dem Paar, also was sollte die Inverse zu 2 sein? 2 wäre

sowas wie 4, 2. Die Inverse von 2, was wir gerne haben wollen, ist die minus 2, das wäre

2, 4. Aber wie sollen wir jetzt addieren? Wir werden gleich sehen, dass wir sozusagen

gezwungen werden, wir wollen ja die Addition für die natürlichen Zahlen bewahren, wir

wollen da nichts dran verändern. Wir werden gezwungen werden, die Addition als Komponentenweise

zu definieren. Aber wenn ich jetzt zum Beispiel 4, 2 mit zwei, vier Komponentenweise addiere,

dann kommt 6, 6 raus und nicht 0, 0. Wir werden später sehen, 6, 6 ist 0, 0. Also wir müssen

diese Identifizierung, diese Äquivalenzklassenbildung machen, zum einen, um die Darstellung überhaupt

eindeutig zu machen und zum anderen in klarem, klar dann auch zu haben, was eine Inverse