Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen. Starten wir in unsere letzte Woche. Ich hoffe, die Reihen füllen sich vielleicht

noch ein bisschen, aber immerhin sind wir fast schon über dem Berg. Okay, also wir sind jetzt

gut unterwegs. Wir haben jetzt die ganzen Zahlen eingeführt. Ich will jetzt nicht zu lange mehr

damit aufhalten, denn wir haben ja noch einen gewissen Weg bis zu den reellen Zahlen zu gehen

und wollen dann auch noch ein bisschen was über die reellen Zahlen erfahren. Vielleicht nochmal

ganz kurz Zusammenfassung unserer Konstruktion und vielleicht bekommen Sie langsam jetzt auch so ein

Gefühl, was ist eigentlich formal und was ist fundiert. Fundiert ist das, was wir auf die

Mengenlehre aufbauen können. Insofern ist unser Aufbau der natürlichen, der ganzen Zahlen fundiert,

weil wir schon vorher die natürlichen Zahlen hatten und einfach gesagt haben, wir nehmen uns Paare von

natürlichen Zahlen her. Da haben wir ein gewisses Verständnis, inwiefern die die ganzen Zahlen dann

darstellen sollen, nämlich als Differenzen. Das ist unser Ziel. Wir sehen, das geht nicht eindeutig,

also müssen wir mit einer Äquivalenzrelation fasern, wie das so schön heißt. Also wir packen

all die zusammen, die die gleichen Differenzen dann letztlich darstellen und so kommen wir letztendlich

zu unserem alten Begriff, den wir vorher formal kennengelernt haben, indem uns einfach jemand

gesagt haben, ja ja, das sind negative Zahlen. Könnte mir schon glauben, dass da welche da sind

und jetzt rechnen wir mal damit und so und so wird damit gerechnet. Das ist die Prozedur der Schule.

Es wird das Objekt gegeben mit viel Handwaving gesagt, dass das alles wunderschön damit ist und

dann wird unendlich lang damit herum gerechnet. Wir machen uns lieber Gedanken, wo kommen die

Dinger her und welche Eigenschaften haben sie deswegen. Aber kurz und gut, natürlich kommen

genau die Eigenschaften raus, die sich eh schon kennen. Wir wissen also jetzt, wir können die

ganzen Zahlen zerlegen in die natürlichen Zahlen ohne Null, in die Null und die negativen Zahlen zu

den natürlichen Zahlen ohne Null und in diesem Sinne haben wir auch so was wie eine Differenzenbildung,

auch wenn wir das jetzt nicht als Operation auffassen. Die Menge ist, ich habe das jetzt

schnell übersprungen, weil es wirklich ein zu hässlicher Druckfehler, Druckfehler kann man das

eigentlich gar nicht nennen, ist weiterhin abzählbar unendlich, obwohl eigentlich nochmal die gleiche

Menge dazugekommen ist. Was jetzt hier gar nicht diskutiert wird auf den Folien, was ich vielleicht

nochmal kurz verbal sage oder Moment, das machen wir jetzt hinterher. Wir müssen erstmal noch zur

Multiplikation kommen. Die Ordnung kommt erst hinterher. Okay, also müssen wir noch zwei Worte

zur Multiplikation sagen. Wie multipliziert man? Ja, so dass es halt am Schluss genau mit den

Differenzen passt, dann wird man auf diese Art der Multiplikation geführt. Man muss auch wieder die

Operationen nachprüfen, nachprüfen, dass man nichts verändert hat gegenüber den alten Operationen,

dass also die Einbettung, die an natürlichen Zahlen sozusagen ihren neuen Repräsentanten als ganze

Zahl zuordnet, verträglich ist mit den Operationen. In dem Sinn ist es egal, ob ich erst multipliziere

oder addiere und dann zu den ganzen Zahlen übergehe oder umgekehrt. Und schließlich sind wir dann bei

der Ringstruktur angelangt. So ein Ring hat jetzt schon fast alle Eigenschaften, die wir von Zahlen

erwarten, das was wir später an den Körper nennen werden. Das einzige was noch fehlt sind die

multiplicativen Inversen für die Zahlen ungleich 0. Da haben wir nur zwei Zahlen ungleich 0, 1 und

minus 1, die bis jetzt multiplicativ Inverse besetzen, alle anderen noch nicht. Das werden

wir dann im nächsten Schritt, der uns dann zu den rationalen Zahlen führt, erledigen. Okay,

minus mal minus gibt plus, hat jetzt also hier eine Basis in so einer Ringstruktur. Was wir also hier

haben ist genauer gesagt ein kommutativer Ring, also auch unsere Multiplikation ist kommutativ,

die Addition muss immer kommutativ sein im Ring. Also die Addition bildet eine, um nochmal diese

Begrifflichkeit ein bisschen zu wiederholen, kommutative Gruppe und wir haben auch eine 1,

aber wir haben halt im Allgemeinen noch keine Inversen. Es gilt die Kürzungsregel, es gilt so

eine Art erweiterte Kürzungsregel und das ist die Basis dafür, dass der Ring nullteilerfrei ist und

was jetzt noch fehlt ist die Einführung einer Ordnung. Aber da können wir uns jetzt, weil wir

schon mal da angelangt sind, dass wir bezüglich der Addition eine Gruppe haben, können wir uns jetzt

ganz einfach machen, das ist eigentlich hier viel zu kompliziert dargestellt. Wir wollen ja einführen,

was m, was bedeutet m größer gleich m, dem wollen wir einen Sinn geben. Aber wir wollen ja nicht