Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Morgen fangen wir an. Wir hatten letztes Mal schon gesehen und zwar allerdings an einer Stelle,

wo wir es noch umgehen können. Es wird jetzt insofern komplizierter als wir eben festgestellt

haben, nicht alle Zahlen lassen sich als Verhältnisse angeben, nicht alle Zahlen lassen sich als

Brüche angeben, die wir gern hätten. Das heißt also, wir müssen noch durch einen anderen Prozess

neue Zahlen bekommen können, die wir dann zum Beispiel Wurzel 2, die wir Pi oder wie auch immer

dann nennen. Und das sind Grenzprozesse. Wir haben das schon ein bisschen angeklungen bei

was ist 0,3 Periode. Das werden wir gleich noch mal ein bisschen genauer beleuchten. Bei 0,3 Periode

kann man sich noch drum herumschummeln und sagen, okay, brauche ich nicht 0,3 Periode,

ist ein Drittel, vergessen wir das. Aber Wurzel 2 ist eben einfach nicht da im Rahmen unserer Brüche,

wie wir gesehen haben. Was wir da gesehen haben mit dieser Abfolge 0,3, 0,33, 0,333 usw. ist eine

Folge von Zahlen. Das heißt also eine Abbildung von den natürlichen Zahlen irgendwo hin, in unserem

Falle in die rationalen Zahlen. Generell kann man in jeder Menge sich Folgen anschauen. Also eine

Folge ist einfach eine Abbildung von den natürlichen Zahlen, in unserem Falle erstmal in die rationalen

Zahlen. Das heißt also wir nehmen uns rationale Zahlen und indizieren die mit 1, 2, 3, 4, 5 usw.

Das ist ein wohl definiertes Objekt. Eine Abbildung ist ja ein wohl definiertes Objekt. Und erst mal

zur Gewöhnung der Schreibweise. Wir schreiben eine Folge, wenn wir von einer allgemeinen Folge reden,

sozusagen durch die Abfolge ihrer Bilder hin. Das Bild, jetzt fängt das wieder an. Jetzt gebe

ich langsam auf mit diesem Ding. Gehen wir auf die konventionelle Art und Weise über die Bilder,

wir haben ja sowas wie a von n. Das schreiben wir mit einem Index, also das allgemeine Folgenglied.

Wir schreiben also eine Folge sozusagen durch ihre Bilder hin und das allgemeine Folgenglied heißt

dann a, n. Und wenn wir nicht ein individuelles Element der Folge, ein individuelles Folgenglied

meinen, dann die ganze Folge. Also wenn wir nicht, das ist genau wie sonst eben bei einer Abbildung.

Wir müssen unterscheiden zwischen Wert einer Abbildung an einer spezifischen Stelle und der

Abbildung insgesamt. Das sind zwei völlig verschiedene Dinge. Wenn wir diese Folge insgesamt

meinen, dann schreiben wir es in der Weise. Die allgemeine Bezeichnung für die Folge in Klammern

und dann Index n. Und wenn wir ganz genau sein wollen, vielleicht n aus n. Und manchmal fangen

wir einfach Folgen nicht bei 1 zu indizieren. Also wir indizieren traditionell Folgen nicht bei 0,

sondern bei 1. Das ist einfach nur Tradition. Wir können sie auch bei 5 anfangen zu indizieren.

Manchmal haben wir auch eine Folge, die erst bei 5 angefangen wird zu indizieren, dann schreiben

wir das explizit hin. So und jetzt kommt die Mathematik. Ich sage vielleicht noch einen

bisschen hochtrabenden Satz vorher. Die Mathematik, die Sie gelernt haben, hat etwa 1850 aufgehört.

Na sagen wir mal 820, 840 vielleicht. Okay, seitdem ist ein bisschen was passiert, wie in jeder Wissenschaft.

Wäre auch schrecklich, wenn nicht. Und was passiert ist, haben wir ein kleines bisschen schon

mitbekommen. Das ist sozusagen die Konkretisierung dessen, was ist unendlich. Die Mathematik, die ist

die einzige Wissenschaft, die das Aktualunendliche exakt benennen kann. Nicht das Potenziell

unendliche. Nicht wenn ich eine natürliche Zahl habe, dann gibt es noch eine größere

natürliche Zahl. Das wussten schon die Griechen. Aber sozusagen dieser Zugang, ich betrachte

die gesamte Menge aller natürlichen Zahlen und schaue mir an, was ist das für eine Menge,

was ist unendlich, was ist abzählbar unendlich. Das ist eine Errungenschaft des späten 19.

Jahrhunderts. So was Sie sonst gemacht haben, viel gemacht haben, also mindestens in der

11. und 12. Klasse. Dann, das ist das, was man vielleicht, ich weiß nicht, wie es auf der

Schule heißt, das alte Wort dafür ist Infinitesimalrechnung. So kannte ich das noch in der Schule. Und hier

werden Sie das wiederfinden als Analysis. Also nicht als Analyse oder wie auch immer, sondern

Analysis. Das ist, wie Sie vielleicht schon wissen, die zweite der großen Grundvorlesungen

in jedem Mathematikstudium. Und da geht es eben sozusagen, das ist sozusagen die Theorie

der stetigen, der differenzierbaren Funktionen, wenn man so will. Und ihrer weiteren Zusammenhänge.

Und das hat man natürlich schon ganz lange betrieben. Auch Euler wusste schon, hat sich

Folgen angeschaut und Reihen, wir werden gleich zum Begriff der Reihe kommen. Aber was es

überhaupt heißt, dass etwas beliebig klein wird, das ist erst relativ spät präzisiert worden.