Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir werden sehen. Also das wesentliche Arbeitsinstrument, was wir jetzt eingeführt

haben und brauchen werden, ist der Begriff der Folge, der Begriff der Konvergentenfolge,

der Cauchy-Folge und damit zusammenhängend auch der unendlichen Reihe. Und Grenzwerte,

wir brauchen im Wesentlichen eine ganz wichtige unendliche Reihe, deren Grenzwert wir hier

ausgerechnet haben, nämlich die sogenannte geometrische Reihe. Das heißt also, man hat

eine feste Basis P betragsmäßig kleiner als eins und die Aussage ist dann die Reihe P hoch N

konvergiert und der Limes ist, das hängt jetzt sehr davon ab, wo man jetzt die Summation beginnt,

das hatten wir uns auch überlegt, der Limes ist, wenn man die Summation bei Null beginnt,

eins durch eins minus P. Okay, vielleicht haben Sie gestern auch schon ein bisschen Experimente

mit der harmonischen Reihe gemacht, also nicht jede Reihe konvergiert, kann man das sehen und

das ist vielleicht gar nicht so einfach ist numerisch, also mit Hilfe eines Computers

verlässlich solche Zahlen auszurechnen, das ist aber jetzt hier nicht unser Thema. Wir wollen jetzt

noch mal ein bisschen genauer verstehen, welche Zahlen wir bisher erfasst haben und dafür führen

wir eine Dezimalbruchdarstellung ein. Wir fangen an und das haben wir schon gemacht, sozusagen mit

den einfach darstellbaren Zahlen, die die mit einem endlichen Dezimalbruch darstellbar sind.

Die Beschränkung geht es hier auf Dezimalbrüche, also auf ein Zahlensystem zur Basis 10 spielt

überhaupt keine Rolle, wir hätten genauso gut irgendeine andere Basis nehmen können, das ist

nur, um es jetzt ein bisschen im Vertrauten zu haben. Sie können die 10 überall durch ein P

ersetzen und die Ziffer 0 bis 9 durch die Ziffer 0 bis P minus 1, ändert an gar nichts und ändert

auch an den Überlegungen nichts, die wir machen werden. Eine endliche Zahldarstellung heißt also,

wir haben, wir beschränken uns auf die Zahlen zwischen 0 und 1, das können wir immer machen,

wir können immer den ganzzahligen Anteil abspalten und so dass wir uns nur noch um die Zahl zwischen,

um eine rationale Zahl zwischen 0 und 1 kümmern müssen und dann können wir so eine Zahl mit einer

Ziffernfolge n1, n2, nk schreiben. Das heißt also, wir schreiben sie erstmal als der endliche Summe,

das ist was Wohldefiniertes, egal wie wir die ni aus der Ziffernmenge wählen, Summe der ni 10 hoch

minus i. Wir können auch die sozusagen höchste negative Potenz herausziehen und dann bekommen wir

hier eine natürliche Zahl zu stehen. Und die erste Überlegung, die wir gestern gemacht haben, war,

wann hat denn eine rationale Zahl so eine endliche Dezimalbruchdarstellung und wir sind zu dem

Ergebnis gekommen, das liegt genau dann vor, wenn in einer teilerfremden Darstellung der Zahl m

durch m Strich, dass m Strich sich schreiben lässt in seiner Primfaktorzerlegung nur aus Potenzen von

zwei oder fünf. Und die Länge, das kann man dann auch sofort ablesen, die Länge sozusagen der

endlichen Darstellung des k hier in der Notation ergibt sich dann, das sieht man dann hier,

einfach an der größten auftretenden Potenz von zwei oder von fünf. Jetzt haben wir auf der anderen

Seite ja auch gesehen, natürlich gibt es ja auch Brüche, angefangen mit ein Drittel, wo eben der

Nenner nicht nur aus Primfaktoren zwei und fünf besteht und dementsprechend muss dann eine andere

Darstellung gelten und das wissen wir schon, das ist eine periodische Darstellung entweder mit

einer Vorperiode oder auch nicht. Und um das jetzt ein bisschen allgemeiner zu fassen führen wir mal

folgende Begriffe ein. Also wir fangen an mit einem SM, das soll schon ein bisschen in Richtung

Partialsumme klingen, also wir geben uns eine unendliche, wir geben uns eine Folge von Ziffern vor,

also wir geben uns unendlich viele ni vor, die Ziffern sind, also hier konkret aus der Menge 0

bis 9, irgendwie beliebig, die können wir uns auch sozusagen im Moment der Vorgabe zufällig

generiert denken, da ist keinerlei Bildungsgesetz dahinter. Mit diesen Ziffern bilden wir jetzt

diese endlichen Summen, das sind wohl definierte Ausdrücke, Zahlen in den rationalen Zahlen,

also wir summieren von 0 bis zum Index M auf, also wir bilden die entsprechende Folge rationaler Zahlen

0, N 0, habe ich da auch bei 0 angefangen, da habe ich jetzt bei 1 angefangen, das ist ein bisschen ungünstig,

das sollte eigentlich eine 1 sein, das ist ein Schreibfehler, hier steht dann auch eine 1,

das ist ein Schreibfehler, hier die 0, also 0, N 1, 0, N 1, N 2, 0, N 1, N 2, N 3 und so weiter,

das ist eine Folge, das nennen wir eine unendliche Dezimalbruchdarstellung, wohlgemerkt Darstellung

noch nicht Zahl. Jetzt gibt es die Möglichkeit, dass diese Folge von Zahlen, also diese Folge von