Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Guten Morgen, Endspurt. Haben Sie drüber nachgedacht, was da schief geht bei der letzten

Berechnung, die wir uns angeschaut haben? Weshalb diese Folge, die eigentlich konvergieren soll,

wegen die Lösung läuft und dann wieder wegläuft? Habt ihr da eine Idee? Nein? Bitte? Okay, es ist zu

kompliziert. Okay, also bevor wir uns jetzt unserem letzten Abschnitt zuwenden, wo wir noch mal

nachspüren wollen, was es überhaupt für irrationale Zahlen gibt, möchte ich doch noch mal, zumindest

etwas Ihnen nicht vorenthalten, weil es etwas ist, was, sagen wir mal, extrem wichtig ist überhaupt

für die Anwendung der Mathematik auf reale Probleme. Man kann ja sagen, und das ist durchaus korrekt,

dass vieles, was wir hier gemacht haben, vom Gesichtspunkt der Anwendung der Mathematik extrem

randständig ist. Es betrifft sozusagen die innere Struktur der Mathematik, wie funktioniert

Mathematik, aber natürlich haben auch schon Leute wie Euler oder Leibniz oder später im 19. Jahrhundert,

als diese Fundierung noch nicht so klar war, jede Menge technische, naturwissenschaftliche Probleme

lösen können und heute in Anbetracht der Möglichkeiten, die wir haben, Algorithmen nicht

selbst durchzuführen, sondern Hochleistungsmaschinen, die für uns durchführen zu lassen, gibt es

natürlich umso mehr Möglichkeiten. Was jetzt wirklich im absoluten Zentrum von allem steht,

ist, wenn man so will, das Zenon-Verfahren. Nicht deswegen, weil es so wahnsinnig wichtig ist,

natürlich ist es auch wichtig, die Wurzel auszurechnen, aber weil dahinter eine Idee

steckt, Entschuldigung, das Heron-Verfahren, Zenon war ein anderer, das Heron-Verfahren,

weil dahinter eine Idee steckt, die der Newton allgemein hat formulieren können, die heute die

Basis für alles ist, wie man an ein nicht-lineares Problem herangehen kann. Wir haben das ja schon

mal ein bisschen gestern diskutiert. Es gibt lineare Zusammenhänge, die eher einfach zu verstehen sind,

nicht-lineare, die typischerweise ja nicht so einfach sind und so ein Problem, das Allereinfachste

durch nicht-lineare Problems, wäre das Nullstellenproblem für eine nicht-lineare Funktion.

Das heißt, die Frage, ich habe eine Funktion gegeben auf einem Intervall a, b, die habe ich,

sagen wir mal, durchaus so gegeben, dass ich die Funktionswerte ausrechnen kann, meinetwegen mit

einem komplizierten Ausdruck, wo alles das vorkommt, was Sie kennen, Sinus, E-Funktion,

was immer Sie sich wünschen. Wir wissen, an einer Stelle ist die Funktion, sagen wir negativ,

aber an einer Stelle ist sie positiv. Wir wissen, aufgrund dessen, was wir uns gestern überlegt

haben, es gibt diese Nullstelle als reelle Zahl, aber wie berechne ich sie jetzt? Im Prinzip ist es

das, was Sie die ganze Zeit gemacht haben. Sie haben angefangen mit, Nullstelle, ja, mit was haben Sie

angefangen? Sie haben angefangen mit diesen Gleichungen. Das heißt, Sie haben angefangen mit einer

Gleichung, einer linearen Gleichung in einer unbekannten. Die konnte man dann relativ schnell

schon auflösen. Dann irgendwann sind immer quadratische Gleichungen dazugekommen. So schrecklich

viel mehr kann man eigentlich gar nicht geschlossen machen. Natürlich können Sie sagen, natürlich kann

ich was lösen. Wenn da steht Sinus x gleich y, dann weiß ich, x ist der Akkusinus von y, aber dann

stellt sich natürlich sofort die Frage, weiß nicht, ob diese Funktion denn bekannt ist, wie ich die Umkehrfunktion

vom Sinus ausrechne. Okay, was ist jetzt die Idee vom Newton-Verfahren? Also die Überlegung, was

herauskommen wird heran, ist gleich Newton. Mathematik besteht ja aus Gleichungen und das

heißt jetzt eine Gleichung, die ich beweisen werde. Okay, was ist die Idee? Die Idee ist,

nehmen wir mal an oder machen wir so, nehmen wir mal an, ich bin egal wo, hier, x Null. Das soll

eine Näherung für meine Nullstelle sein. Wie gut oder wie schlecht diese Näherung ist, kann ich

überprüfen, indem ich den Defekt ausrechne. Ich setze ein und dann kommt eine große oder kleine

Zahl raus. Normalerweise werde ich die Nullstelle nicht gefunden haben. Das heißt, ich möchte jetzt

von dieser Zahl ausgehen und zu einer besseren Näherung kommen. Im Idealfall natürlich zur

Nullstelle. Nun kann ich aber von dieser nichtlinaren Funktion die Nullstelle nicht finden, sonst hätte

ich das sowieso gleich in einem Aufwach gemacht. Was ich aber machen kann, ich kann hier an diesem

Punkt x Null die Funktion, wenn sie nicht nur stetig, sondern eben auch differenzierbar ist,

und das ist gerade der Differenzierbarkeitsbegriff, ich kann diese Funktion durch eine lineare Funktion

oder genauer affin linear, die eigentliche Begrifflichkeit dafür, gut approximieren und

von dieser kann ich dann die Nullstelle berechnen, da bin ich wieder in diesem Problem hier.