So, guten Morgen. In der letzten Vorlesung haben wir ja über kompakte Mengen gesprochen.

Das sind abgeschlossene und beschränkte Mengen im R hoch N, im N-dimensionalen Vektorraum,

über den reellen Zahlen und jetzt geht es darum, Charakterisierungen dieser kompakten Mengen zu

finden und im Moment sind wir dabei eine Charakterisierung mit Hilfe von offenen

Überdeckungen zu beschreiben. Was ist jetzt eine offene Überdeckung? Wir haben eine Teilmenge

K des R hoch M und da soll jetzt eine offene Überdeckung definiert werden.

Eine offene Überdeckung ist eine Familie offener Mengen,

also die kann man schreiben als U alpha, alpha ist in irgendeiner Indexmenge.

Mit erstens U alpha Teilmenge R hoch M ist offen, eine offene Menge für alle alpha Elemente i und

ja jetzt wissen wir noch was eine offene Menge ist. Also eine Menge heißt offen, das ist jetzt

unser U alpha, wenn zu jedem Punkt x aus der Menge nicht nur der Punkt selber zu der Menge

gehört, sondern auch noch so ein Kreis um x mit Radius R, eine offene Kugel um x mit Radius R

muss dann auch Teilmenge U alpha sein, wenn das R nur klein genug gewählt ist, also das ist die

Definition von offenen Mengen und die offene Überdeckung, die besteht aus offenen Mengen,

deshalb heißt sie auch offene Überdeckung und warum heißt die Überdeckung? Wenn man jetzt die

Vereinigungsmenge bildet, dann enthält die Menge K, also das sind die beiden Eigenschaften einer

offenen Überdeckung und was hat das jetzt mit den kompakten Mengen zu tun? Wenn sie eine kompakte

Menge haben und da eine offene Überdeckung haben, dieser kompakten Menge, dann können sie immer

endlich Teilüberdeckungen auswählen, also sie brauchen dann nicht alle alpha aus I hier zu

nehmen, sondern nur endlich viele und dann haben sie immer noch eine Überdeckung und das charakterisiert

sogar die kompakten Mengen. Noch ein kleines Beispiel dazu, die Menge K ist jetzt mal das

Intervall von 0 bis 1, also die 0 gehört nicht dazu, die 1 gehört dazu und als Mengen U nehmen

wir UR gleich ein halb R bis 2R und dann nehmen wir die Familie aller URs mit R aus unserer Menge K,

also aus dem Intervall von 0 bis 1 und dann sind es ja lauter offenen Mengen und zu jedem Punkt aus K

haben sie so ein UR, wo das R selbst drin ist, also das R ist ja immer zwischen ein halb R und 2R,

weil es größer als 0 ist, also das ist eine offene Überdeckung von K und hier ist die Menge ja nicht

kompakt, weil sie nicht abgeschlossen ist. Wir haben ja die abgeschlossenen Mengen charakterisiert,

dass sie alle die Grenzwerte der Folgen, der konvergenten Folgen aus der Menge auch enthalten,

also hier können sie eine Nullfolge nehmen, dann nehmen sie zum Beispiel die Folge 1 durch N,

diese Zahlen 1 durch N sind alle hier drin in K, aber der Grenzwert ist ja Null und der ist

nicht in K drin, deshalb ist diese Menge nicht abgeschlossen nach unserer Folgencharakterisierung

der Abgeschlossenheit und können sie hier eine endliche Teilüberdeckung auswählen,

sodass die Menge immer noch überdeckt wird, die Antwort heißt nein, also angenommen sie hätten

hier eine endliche Teilüberdeckung, dann hätten sie auch hier so einen kleinsten Index R0 und zu

dem kleinsten Index würde dann auch ein halb R0 gehören und der kleinste Wert, der dann auch

überdeckt wird, ist ein halb R0 und zwischen Null und ein halb R0 liegen aber unheimlich viele

reelle Zahlen dazwischen und die werden alle nicht überdeckt, also hier gibt es keine endliche

Teilüberdeckung, aber das ist ja auch keine kompakte Menge, die ist zwar beschränkt, aber

nicht abgeschlossen, wenn jetzt eine Menge kompakt ist, also abgeschlossen und beschränkt,

dann gibt es zu so einer offenen Überdeckung immer eine endliche Teilüberdeckung und das ist

der Satz von Heine Borel, den wir jetzt erstmal notieren.

Wir nennen die Menge jetzt mal K0, K0 ist unsere Timing des R hoch.

Ich nenne die Menge K0, weil gleich viele dieser offenen Kugeln K, X, R vorkommen und dann kann

man die nicht so leicht verwechseln mit der Menge. Diese Menge K0 ist genau dann kompakt,

also abgeschlossen und beschränkt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung

ist. U alpha, alpha ist aus einer Indexmenge A, also die haben wir eben I genannt, die

kann man auch A nennen, das ist ja nur ein Name, das ist eine offene Überdeckung von dieser Menge K0,

also wenn man die U alphas vereinigt, dann enthält diese Vereinigungsmenge die Menge K0. Da finden wir

jetzt eine endliche Teilüberdeckung und was sagt das? Wir haben erstmal eine endliche Zahl, also wie

viele dieser U alphas brauchen wir? Das ist eine endliche, natürliche Zahl und dann finden wir