Einiges ist zu spät fertig, deshalb fange ich mit der

Vorlesung an.

Ich habe noch ein Bild mitgebracht.

Sehen Sie hier.

Wir haben ja in der letzten Vorlesung über den Gradienten gesprochen.

Wenn Sie eine Funktion haben, die den R hoch N in den R hoch 1 abbildet,

dann enthält der Gradient die partiellen Ableitungen.

Wir haben ja dann N Variablen, also haben Sie auch n partielle Ableitungen.

Also hat der Gradientenvektor die gleiche Dimension wie der Vektor der Unbekannten.

Den können Sie also in den Raum einbetten.

Und dieses Bild können Sie so interpretieren.

Da haben Sie eine Funktion vom R hoch 2 in den R hoch 1.

Da stellen Sie sich den R hoch 2 so als Koordinatensystem vor, als Grundfläche, auf dem Sie stehen.

Dann gibt es die Funktion in jedem Punkt die Höhe vor.

Das führt dann zu einer Landkarte, wie es da zu sehen ist.

Dann stehen Sie zum Beispiel an dem roten Punkt da oben, also ziemlich nah am Gipfel.

Der negative Gradient ist dann die Richtung des steigsten, steilsten Abstiegs.

Das zeigt dann dahin, wo es am steilsten runter geht.

Diese Skizze illustriert noch ein numerisches Verfahren.

Wenn man mit einer gewissen Schrittweite in diese Richtung des steilsten Abstiegs geht,

dann kann man das am nächsten roten Punkt wiederholen.

So kommt man am Ende in diese Senke und wird dann unten,

wo es nicht mehr tiefer geht, stehen bleiben und stationär werden.

Denn wenn Sie schon unten sind, dann gibt es keinen steilsten Abstieg mehr.

Da ist der Gradientenvektor dann null.

Das zur Anschauung dieses Gradientenvektors hat den Vorteil,

dass man den sich im gleichen Raum vorstellen kann, wo auch die Unbekannten leben.

Deshalb kann man den so schön hier anheften, an den Funktionsgrafen.

Das hatten wir als Satz formuliert, aber noch nicht bewiesen.

Der Beweis kommt jetzt als nächstes in der Vorlesung.

Der Satz hatte drei Teile.

Der erste Teil sagt, dass man die Richtungsableitungen mit dem Gradienten ausdrücken kann,

einfach als Skalarprodukt aus den Gradienten und der Richtung, in die man ableitet.

Die Ableitung ist ja definiert als Grenzwert der Differenzenquotienten.

1 durch t mal f an der Stelle x0 plus c mal e, das ist dann die Richtung e,

minus f von x0.

Das ist diese Differenz, die im Zähler steht, und dann teilen Sie durch t diese Schrittweite.

Das können Sie auch darstellen als Skalarprodukt aus dem Gradienten der Funktion f an der Stelle x0 und der Richtung e.

In dem Gradienten stehen wie gesagt die partiellen Ableitungen drin.

Ich schreib es nochmal hin.

Das sind die df nach dxj an der Stelle x0, für j gleich 1 bis n.

Das ist die Darstellung dieser Richtungsableitungen in Richtung e.

Sie sehen, die Richtungsableitungen hängen linear von der Richtung ab.

Wenn Sie in die negative Richtung gehen, dann kommt genau auch die negative Richtungsableitung heraus.

Um alle Richtungsableitungen zu bestimmen, braucht man deshalb nur die Richtungsableitungen auf einer Basis zu bestimmen.

Das sind ja die Richtungsableitungen in Richtung der Koordinaten, Achsenrichtungen.

Die stehen hier drin in der Matrix dieser Linian-Abbildung. So können Sie das auch lesen.

Dann haben wir einen Teil b. Wenn jetzt der Gradient 0 ist an einer Stelle x0, dann folgt diese Richtungsableitungen.

Die sind dann auch 0. Das sieht man hier ja sofort.

Das kann zum Beispiel sein, wenn Sie ganz oben auf einem flachen Gipfel stehen.