So, guten Morgen. Wir haben in der letzten Vorlesung ausführlich die Normen im mehrdimensionalen Raum diskutiert, im R hoch N.

Und damit können wir jetzt den Begriff der Stetigkeit auf diesen mehrdimensionalen Fall übertragen.

Die Stetigkeit haben wir ja im eindimensionalen Fall schon ausführlich diskutiert.

Da wurde alles mit den Beträgen definiert.

Und die Definition im mehrdimensionalen, die sieht genauso aus, nur stehen da, wo früher die Beträge standen, jetzt überall die Normen.

Also definieren wir die stetigen Funktionen.

Dazu brauchen wir erstmal unsere Definitionsmenge im R hoch M.

Und in dieser Menge a, wo unsere Funktion definiert ist, haben wir einen Punkt x0.

Und da ist es immer gut, sich so ein bisschen Geometrie in dem Sinne vor Augen zu führen.

Und was heißt jetzt Stetigkeit in diesem Punkt x0? Eine Funktion f von a in den R hoch N heißt stetig im Punkt x0 Element a.

Falls gilt.

Und im eindimensionalen Fall haben wir ja dann diese Epsilon Delta Aussage gemacht für alle Epsilon größer 0 und so weiter.

Und das ist hier genauso.

Falls gilt, schreibe ich besser.

Wir beginnen wieder mit dem Epsilon größer 0.

Also zu jedem, das heißt zu jedem noch so kleinen Epsilon größer 0 findet man, also gibt es ein Delta größer 0, sodass alle x aus der Definitionsmenge a, die nahe genug an dem Punkt x0 liegen,

also dieser Abstand wird jetzt mit den Normen gemessen.

Also für alle x aus a mit Norm von x minus x0 kleiner gleich Delta gilt.

Der Abstand der Funktionswerte ist auch klein, kleiner als dieses vorgegebene Epsilon.

Den Abstand der Funktionswerte müssen wir dann auch mit dieser Norm, aber das ist jetzt die Norm im R hoch N.

Hier mit den x sind wir im R hoch M und jetzt sind wir im R hoch N mit den Funktionswerten.

Da soll gelten f von x minus f von x0 kleiner gleich Epsilon.

Also da müssen Sie sich nicht viel Neues merken, nur zwei Striche statt einem Strich für die neu definierten Normen.

Im eindimensionalen Fall haben wir die Stetigkeit ja auch mit Folgen charakterisiert.

Es geht ja bei der Stetigkeit darum, was mit den Funktionswerten passieren kann, wenn die x in die Nähe von dem x0 laufen.

Das kann man eben auch analysieren, indem man hier Folgen xk betrachtet, die gegen x0 konvergieren.

Dann gehören dazu ja Folgen von Funktionswerten und die müssen dann gegen f von x0 konvergieren.

Und diese Folgencharakterisierung der Stetigkeit, die stellen wir wieder als Satz dar.

Wie im eindimensionalen Fall zeigt man folgenden Satz.

Die Funktion f von a nach r hoch n ist genau dann stetig in dem Punkt x0 Element a.

Jetzt kommen diese Folgen ins Spiel bei der Folgenstetigkeit, wir nehmen eine beliebige Folge xk, die gegen x0 konvergiert.

Wenn für jede Folge xk k Element n aus a mit Limes für k gegen unendlich xk gleich x0 gilt,

die entsprechende Folge der Funktionswerte f von xk konvergiert gegen f von x0.

Limes für k gegen unendlich f von xk ist gleich f von x0.

Das sieht genauso aus wie im eindimensionalen Fall, das haben wir ja auch schon so betrachtet.

Das heißt f ist folgenstetig.

Das können wir jetzt aus der Definition beweisen, da müssen wir im Wesentlichen genauso argumentieren wie im eindimensionalen Fall.

Der einzige Unterschied ist wie gesagt die Definition des Abstandes jetzt durch unsere euklidische Norm.

Der Satz ist ja ein Äquivalentssatz, das heißt wir müssen zwei Richtungen beweisen.

Da setzen wir voraus, dass die Funktion in dem Punkt x0 stetig ist und wollen zeigen, dass die Funktion dann auch folgenstetig ist.

Dazu nehmen wir uns eine Folge xk her.

Gegeben sei eine Folge xk mit Grenzwert x0.

Jetzt müssen wir natürlich die Stetigkeit einspeisen.

Das sagt die Definition, da f in x0 stetig ist, existiert zu jedem epsilon größeren Null ein delta größeren Null mit Norm von f von x minus f von x0.

Kleiner gleich epsilon, norm von x minus x0, kleiner gleich delta.

Da haben wir die Definition nochmal hingeschrieben, genauso wie sie oben steht.

Jetzt müssen wir das verknüpfen.

Die Verknüpfung geht jetzt über das delta.

Wir geben uns das epsilon vor.

Dazu kriegen wir das delta aus der Stetigkeit und das delta misst den Abstand in den xen, also wie oben auf dem Bild mit dem grünen Kreis.