Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, anstehendes Kapitel ist jetzt die Semantik der Prädikatenlogik 1. Stufe.

Wir sind da ja umgekehrt vorgegangen als bei der Aussagenlogik. Umgekehrt wie heißt es korrekt.

Also wir haben zuerst die Syntax und dann das Beweissystem präsentiert und liefern also jetzt erst die Semantik nach,

wenn wir das also bei Aussagenlogik ja umgekehrt gemacht hatten.

Ja, eben deswegen, weil das Beweissystem der First-Order-Logik, wenn man das Prinzip mal von der Aussagenlogik hier verstanden hat,

nicht mehr so die Lernhöhe hat, während die Semantik doch etliches Erneuerungen bringt.

Erinnern wir uns also nochmal, was eigentlich die neuen Features der Logik gegenüber der Aussagenlogik sind.

Erstmal haben wir ja überhaupt sowas wie Individuen und Variablen, die gibt es in der Aussagenlogik ja überhaupt nicht.

Wir müssen also irgendwie sehen, wie wir diese Individuen und Variablen mit einer Bedeutung versehen.

Dann, naja, Prädikate. Und der kringelt vielleicht. Prädikate gibt es in der Aussagenlogik, eingeschränkt natürlich schon, nämlich 0-stellige Prädikate.

Wir haben in der Aussagenlogik, da schreiben wir einfach Aussagen hin, die nicht besondere Individuen betreffen,

sondern die eben schlicht und einfach wahr oder falsch sein können.

Sagen wir das also klarerweise mal dazu. Also das Neue sind diejenigen Prädikate, die mehr als 0-stellig sind.

Dann natürlich die Funktionen, die gab es vorher gar nicht. Und von der Syntax der Logik her außerdem noch die beiden Quantoren, der Al-Quantor und der Existenz-Quantor.

Das sind also die Dinge, aus denen wir jetzt irgendwie semantisch Sinn machen müssen.

Man verfolgt dabei die einfachst mögliche Idee, nämlich, man fängt hier an bei den Variablen,

muss die Variablen irgendwie interpretieren in dem Sinne, dass ich sagen muss, für was für eine Sorte Dinge die eigentlich stehen.

Und genau mit der Festlegung dieses sogenannten Grundbereichs der Variablen fängt man eben an. Und das führt zu folgendem Begriff.

Und zwar der des Sigma Modells. Dummerweise ist es so, dass dieses Ding oder dieser Begriff in der Literatur sehr viele verschiedene Namen trägt.

Die werden Sie vielleicht gelegentlich antreffen.

So etwas nennt sich zum Beispiel auch eine Sigma-Algebra, eine Sigma-Struktur.

Und dann gibt es noch eine Interpretation und verschiedene Dinge mehr. Wir sagen Modell.

Ich könnte so ein Sigma-Modell jetzt schreiben als großes Tupel, da wir das nie wieder tun werden, fühle ich die Schreibweise gar nicht erst ein,

sondern ich sage nur, woraus das Ding besteht. Es kriegt einen globalen Namen oder eine solche Struktur kriegt einen typischen Buchstaben.

Also wir nennen so ein Ding typischerweise Deutsch M.

Und das besteht also aus einer Reihe von Zutaten, die ich gleich aufliste.

So, noch mal zur Orientierung. So ein Sigma-Modell spielt für Prädikatenlogik die Rolle, die eine Wahrheitsbelegung für Aussagenlogik spielt.

Das heißt also, es muss mir genügend Informationen zur Verfügung stellen, um zu sagen, ob eine gegeben Formel wahr oder falsch ist.

Genauso wie eine aussagenlogische Formel, wenn sie denn Atome zunächst mal nicht an sich war oder falsch ist,

sondern erst dadurch war oder falsch wird, dass ich diesen Atomen Wahrheitswerte gebe.

Genauso ist also auch eine Formel in Logik erster Stufe zunächst mal nicht an sich war oder falsch,

sondern sie wird erst dadurch war oder falsch, dass ich den Dingen, die in ihr vorkommen, Bedeutung gebe.

Und da muss ich also hier genügend Informationen zur Verfügung stellen.

So, zunächst mal besteht so ein Modell Deutsch M. aus einer unterliegenden Menge.

Die schreibe ich Lateinisch M. Und an die stelle ich als einzige Bedingung, dass sie nicht leer sein muss.

Und das ist auch wichtig.

Haben wir diskutiert, dass also das Beweissystem der Logik Schlüsse erlaubt,

die über einen leeren Grundbereich offensichtlich nicht richtig wären.

Zum Beispiel erlaubt uns die Logik daraus, dass alle Individuen eine Eigenschaft erfüllen,

zu folgern, dass mindestens ein Individuum die Eigenschaft erfüllt. Und das wäre über einen leeren Grundbereich schlicht und einfach inkorrekt.

So, dieses Ding trägt auch verschiedene Namen.

Das Ding heißt zum Beispiel das Universum. Das ist eine ganz gute Intuition, es so zu nennen.

Also es sagt mir, was es in der Welt so alles gibt.

Es heißt der Bereich oder manchmal der Klarheit halber der Grundbereich, weil Bereich so ein etwas sehr neutrales Wort ist.

Das ist der Begriff, den ich mich bemühen werde, konsequent zu verwenden oder einfach der Träger.

So, diese Menge sagt uns gewissermaßen, worüber die Variablen laufen.

Das ist die Grundmenge der Individuen und die Variablen in Formeln, die bezeichnen halt Bewohner dieses Grundbereichs, also Individuen.

Deswegen auch der Name Individuen Variable.

So, dann muss ich irgendwie mein nicht deklariertes, syntaktisches Material gewissermaßen mit Bedeutung versehen.