Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Guten Morgen. In der letzten Vorlesung haben wir ja schon mit dem Abschnitt über die

uneigentlichen Integrale begonnen. Dabei geht es darum, das Riemann-Integral noch zu erweitern.

Das Riemann-Integral funktioniert nur für Riemann integrierbare Funktionen auf endlichen

Intervallen. Oft hat man Integrale mit unendlichen Intervallen zu berechnen.

Die kann man auch mit dem Riemann-Integral berechnen, indem man einen Grenzwert betrachtet,

wo eine Integralgrenze gegen unendlich geschoben wird. Die formale Definition sehen wir jetzt.

Uneigentliche Integrale sind das Thema. Definition.

Wir haben eine Funktion f, die von a bis unendlich definiert ist und reellwertig ist.

Und die soll jetzt auf allen endlichen Intervallen von a bis b integrierbar sein. Riemann integrierbar.

Für alle b größer a. Dann existieren also diese Integrale von a bis b für alle bs und man kann

untersuchen, ob der Grenzwert für b gegen unendlich auch existiert. Falls der Grenzwert

f für b gegen unendlich vom Integral von a bis b f von x dx existiert, dann sagt man,

die Funktion ist uneigentlich integrierbar auf dem Intervall von a bis unendlich. Also

auf einem unendlich langen Intervall. So heißt f uneigentlich integrierbar.

Auf diesem Intervall von a bis unendlich. Und man schreibt

der Grenzwert, der jetzt existiert, ist auch der Wert des Integrals von a bis unendlich

entsprechend definiert man auch Integrale von minus unendlich bis a oder minus unendlich

bis b, wo dann die linke Grenze eben gegen minus unendlich läuft. Analog. Integral von

minus unendlich bis b f von x dx ist gleich Liemes für a gegen minus unendlich. Integral

von a bis b f von x dx, falls der Grenzwert existiert. Und dafür müssen erstmal diese

Integrale alle existieren. Also das heißt die Funktion f muss auf diesen Intervallen

von a bis b integrierbar sein für beliebig kleine a. Also falls f auf dem Intervall von

minus unendlich bis b definiert ist und integrierbar auf diesen abgeschlossenen Intervallen a

b für alle a kleiner als b. Also zum Beispiel wenn die Funktion stetig ist, dann ist sie

ja rimantegrierbar und dieser Grenzwert muss natürlich existieren. Manchmal möchte man

auch über die ganze reelle Achse integrieren, also von minus unendlich bis plus unendlich

und so ein Integral setzt man dann aus zwei Integralen zusammen, also aus dem Integral

von minus unendlich bis Null, das haben wir jetzt schon definiert und dazu addiert man

das Integral von Null bis unendlich. Die müssen also beide einzeln existieren, wenn sie von

minus unendlich bis plus unendlich integrieren wollen. Falls also das Integral von minus

unendlich bis c von x dx und das Integral von c bis unendlich f von x dx beide existieren,

definiert man das Integral von minus unendlich bis plus unendlich f von x dx ist gleich dem

Integral von minus unendlich bis c f von x dx plus dem Integral von c bis plus unendlich

f von x dx. Das ist also die abstrakte allgemeine Definition und jetzt schauen wir uns mal konkrete

Beispiele an, um das mit Leben zu erfüllen. Beispiele.

Wir betrachten die Funktion f von x gleich 1 minus tangens hyperbolicus von x. Der tangens

hyperbolicus ist ja sinus hyperbolicus durch cosus hyperbolicus und hier können wir direkt

eine Stammfunktion hinschreiben. Also wenn man x ableitet, kommt die 1 heraus. Wenn man

den cosus ableitet, kommt ja der sinus hyperbolicus heraus. Also ist die Stammfunktion x minus

logarithmus vom cosus hyperbolicus von x. Also wenn Sie den logarithmus ableiten, dann haben

Sie 1 durch, in dem Fall cosus hyperbolicus x und nach der Kettenregel kommt dann noch

die innere Ableitung, das ist der sinus hyperbolicus x, deshalb ist das hier die Stammfunktion

oder eine Stammfunktion und mit dieser Stammfunktion können wir jetzt die Integrale über die

endlichen Intervalle alle ausrechnen. Dieser Integrant ist ja stetig, da funktioniert das.

Es gilt das Integral von a bis b f von x dx ist diese Stammfunktion x minus logarithmus vom

cosus hyperbolicus von x in den Grenzen x gleich 0 bis b. Ja, dann müssen wir hier auch

mit der 0 anfangen, nicht mit a, fangen wir also mit der 0 an und da setzen wir jetzt ein

und erhalten b minus logarithmus von cosus hyperbolicus b und wenn wir die 0 einsetzen,

erhalten wir hier eine 0, cosus hyperbolicus von 0 ist 1, logarithmus von 1 ist 0, also