Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Delta beta rho mal i beta 2 gepunktet, dx die rotatorischen Trägheiten plus das Integral 0 bis l.

Jetzt kommen die inneren Energien oder die virtuelle innere Arbeit mit dem beta Strich dx.

Das ist die Krümmung, das ist sozusagen der Biegeanteil plus jetzt den Schubanteil,

der aus der Schubverzerrung, die besteht aus Delta beta plus Delta w Strich mal g mal a beta plus w Strich dx resultiert.

Und das Ganze ist gleich der virtuellen äußeren Arbeit.

Da haben wir einmal das Integral 0 bis l, Delta w mal qz dx, also die Arbeit der Streckenlast.

Und dann noch, und jetzt schreibe ich Delta wi mi plus Delta beta j mal mj, wobei das die Knoten i und j sind, plus Delta wi mal qi plus Delta wj mal qj.

Wenn man sich das jetzt anschaut, man kann hier, wenn man möchte, a durch as ersetzen, so eine korrigierte Schubfläche.

Man kann auch irgendwie kappa mal a, unseren Schubkorrekturfaktor hier einführen.

Das ist aber nicht wirklich wesentlich.

Für einen Rechteckquerschnitt wäre dieser Vorfaktor 5 Sechstel, für Kreisquerschnitte oder irgendwas anderes, kann man das aus Tabellen ablesen, kann man sich aufwendig berechnen,

ist aber immer in der Nähe von 1, sodass man ihn auch gnadenlos zu einsetzen kann.

Ja, das ist also irgendwie so Feintuning korrekterweise für die Schubverzerrung.

Taucht hier noch so ein Korrekturfaktor auf, der aber nicht wirklich von Belang ist.

Außerdem habe ich hier jetzt die Vorzeichen angepasst gegenüber dem Resultat von gestern, weil ich hier auf die Finite Elemente-Konvention jetzt übergegangen bin.

Das heißt, wenn ich hier den Knoten i und den Knoten j habe, dann sind die Größen folgendermaßen gerichtet.

Ich habe hier ein Qj und ein Mj und jetzt in der Fe-Definition habe ich auch das Qi hier und das Mi jeweils in positiver Richtung dreht

und nicht die Konvention am negativen Schnittufer zeigen, positive Größen in negativer Richtung,

sondern es ist halt wirklich alles in diesem Koordinatensystem z, die positive Richtung, Drehrichtung, ist so herum.

Egal an welchen Knoten ich mich befinde, werden die Schnittgrößen in positive Richtung gezeichnet.

Deshalb tauschen sich hier für die Größen i die Vorzeichen werden also alle zu plus.

Das ist auch der Sinn dieser Fe-Konvention, dass man da immer mit den Pluswerten rechnen kann.

Um das Leben uns jetzt etwas einfacher zu machen, beschränken wir uns auf die Statik und wir nehmen auch nur Einzellasten an.

Das heißt, ich will jetzt gar nicht auf die Massenmatrizen hier eingehen und auf diese Streckenlast.

Das kann man dann ganz analog nachher machen, das wird man sehen.

Was ich jetzt sozusagen habe, dann kann ich das PDVV bei etwas vereinfachen und in Matrixform bringen.

Ich habe hier 0 bis L, das heißt ich muss jetzt die beiden inneren Terme, diesen und diesen hier zusammenfassen

und das mache ich, indem ich das in eine Matrixform bringe.

Ich fügele hier ein, jetzt habe ich den anderen Term, Delta Beta plus Delta W Strich, also den Schubterm hier zuerst genommen

und Delta Beta Strich mal hier das G mal A, hier EI, 0, 0 und Delta Beta plus Delta W Strich, ohne das Delta,

und hier steht das Beta Strich dx, das ist jetzt eine Matrixnotation, wenn ich das ausmultipziere habe ich das mal das mal das,

das gibt diesen Schubterm, da die Nebendiagonale 0 sind, kommt nur noch das mal das mal das dazu und das ist gerade dieser Term.

Das heißt ich habe es jetzt schon in so eine Matrixform gebracht, bloß umsortiert sozusagen

und das gleiche mache ich mit der rechten Seite, ist gleich hier und hier fasse ich zusammen

Delta Wi, Delta Beta i, Delta W j, Delta Beta j multipliziert mit den Knotenkräften bzw. Momenten Q j, M j.

Wenn ich das ausmultipiziere, kriege ich gerade diese vier Terme wieder.

Das heißt, was ich jetzt habe als unbekannte Feldfunktion ist das Beta und das W, das sind meine unabhängigen Größen,

die Durchsenkung und die Querschnittsneigung meines Querschnittes und das heißt ich brauche Ansatzfunktion.

Ich möchte ja ein vieles Element haben, also ich brauche eine Ansatzfunktion für W von X und Beta von X

und das heißt ich brauche irgendwas W und Beta soll irgendeine Matrix von Formfunktion mal ein Verschiebungsvektor sein,

indem die entsprechenden Knotengrößen von W und Beta drin stehen, also Ui, Beta i, Uj, Beta j, wenn ich nur die beiden Knoten hier betrachte.

Es gibt die Verzerrungsgrößen, das heißt ich brauche den Ableitungsoperator,

der Verzerrungsverschiebungsrelation, das heißt wie mache ich aus W und Beta meine Verzerrung,

das sind hier sozusagen meine Verzerrungsgrößen, die hier stehen, einmal die Schubverzerrung und das ist die Krümmung.

Das dEpsilonU kann ich hinschreiben, wenn ich jetzt auf das W und Beta in dieser Reihenfolge anwende,

dann habe ich hier d nach dx und 1 und 0 nach d und d nach dx.

Das heißt wenn ich das hier auf das anwende, dann habe ich hier d nach dx angewendet auf W plus einmal Beta, das ist gerade W Strich plus Beta

und die zweite Zeile sagt 0 mal W plus d nach dx angewendet auf Beta, also Beta Strich, das ist genau dieser Term.

Ich habe eine Stoffmatrix C, das ist gerade diese Matrik mit dem G, A, S und dem E, I, also der Schub und der Wiegesteifigkeit