So, guten Morgen. Wir haben ja mit einigen topologischen Begriffen begonnen, das wiederhole

ich nochmal. Wir hatten im R hoch N offene Kugeln definiert. Die haben einen Mittelpunkt

X und ein Radius R. Die Notation war Kr von X, also die Kugel um den Punkt X mit Radius

R. Das ist die Menge der Y aus R hoch M mit der Eigenschaft Norm von Y minus X. Also dieser

Abstand ist echt kleiner als R. Und nachdem wir die offenen Kugeln definiert

haben wir offene Mengen, allgemeine offene Mengen definiert. Also eine Teilmenge A des

R hoch M heißt offene Menge. Genau dann, wenn gilt für alle X aus dieser Menge A existiert

ein Radius R größer Null, sodass wir noch eine Kugel mit Radius R auch ganz in der

Menge A drin haben. Das ist also die Definition einer offenen Menge. Und das Bild dazu ist

ja so. Also wir haben dann einen Punkt X in der Menge A und mit dem Punkt X liegt dann

eben auch so ein ganzer Kreis Kr von X, also mit Radius R in der Menge A drin. Und jetzt

stellt sich natürlich die Frage, sind die offenen Kugeln auch offene Mengen? Also die

Antwort ist ja, aber das muss man jetzt erstmal nachweisen nach dieser Definition einer offenen

Menge. Also es gilt, jeder offene Kugel K A Null um einen Punkt X Null ist eine offene

Menge. Sonst hätte ja auch die Bezeichnung wenig Sinn, aber das ist konsistent. Und das

ist auch eine gute Gelegenheit sich die Definition nochmal klar zu machen. Also was müssen wir

hier nachweisen? Wir weiß, wir nehmen also einen Punkt Y aus dieser Menge Kr Null von

X Null, das ist jetzt unsere Menge A. Das heißt wir haben irgendwo das X Null und dann darum

diese offene Kugel. Also das ist unser Kr Null von X Null und da ist jetzt unser Punkt

Y drin. Und dann können wir das Ganze eigentlich auf dieser Verbindungsstrecke zwischen dem

Punkt Y und dem Mittelpunkt X Null betrachten. Wir suchen jetzt ja um diesen Punkt Y noch

eine kleine Kugel, die ganz in der großen Kugel enthalten ist. Und dazu müssen wir

nur sagen, wie groß der Radius der kleinen Kugel sein darf. Also die kleine Kugel die

soll ja ganz in der großen Kugel drin liegen und die hat dann einen Radius R von Y. Und

wie wählen wir jetzt R von Y? Dazu muss man sich die anderen Strecken anschauen. Also

hier haben wir ja einfach die Norm von X Null minus Y und die gesamte blaue Strecke, das

ist ja einfach unser Radius R Null der blauen Kugel. Also das Maximale was wir für das

Radius R von Y wählen können ist gerade R Null minus diese Norm von X Null minus Y. Also wenn Sie von dem

langen das rechte abziehen, dann bleibt hier das linke übrig und das ist dann unser R

von Y. So definieren wir das jetzt. Also Setze R von Y gleich die lange Strecke R Null. Also

das war unsere blaue Strecke minus den Abstand X Null minus Y und das ist dann größer Null,

weil ja das Y in der Kugel KR Null von X Null drin liegt. Also das ist erstmal eine zulässige

Definition, weil eine positive Zahl rauskommt und jetzt muss man nur noch zeigen, dass diese

Kugel mit Radius R von Y um diesen Punkt Y ganz in der großen Kugel KR Null von X Null

enthalten ist. Und das geht mit der berühmten Dreiecksungleichung. Dann gilt für alle Z aus

diesem dieser Kugel der offenen Kugel mit Radius R von Y um den Mittelpunkt Y der Abstand von Z

zu X Null ist kleiner gleich Z minus Y plus Y minus X Null. Und das Z minus Y das muss ja kleiner

sein als R von Y, weil ja das Z grad in dieser Kugel mit Radius R von Y um Y drin sein soll.

Und das R von Y das haben wir ja definiert, das können wir hier einsetzen. Auch unsere

Definition kommt da genau heraus R Null, weil sich die Norm von X Null minus Y da genau weghebt.

Also gilt Z ist dann auch in KR Null um X Null enthalten und das heißt KR von Y um Y ist eine

Teilmenge von KR Null von X Null und das war ja hier unser A. Und nach der Definition einer offenen

Menge folgt jetzt, dass die offene Kugel auch selbst eine offene Menge ist. Also so das sind

typische Argumentationen in diesem Bereich. Da müssen Sie sich immer die Mengen vorstellen,

die Sie gerade betrachten und dann schauen, wo die Punkte liegen und was in was enthalten ist.

Also das ist ein erstes Beispiel für eine offene Menge, so eine offene Kugel, aber es gibt natürlich

noch mehr Beispiele. Also die ganze Menge A gleich R hoch M ist auch eine offene Menge,

denn diese offenen Kugeln sind ja alle im R hoch M enthalten, also ist ganz R hoch M eine offene

Menge. Wenn der Radius Null ist, funktioniert es auch, also die leere Menge ist auch offen.

Und eben wie gerade gezeigt A gleich KR Null um X sind offene Mengen. Neben den offenen Mengen