Wir haben uns in den letzten Videos damit beschäftigt, was Diagonalisierbarkeit von

Endomorphismen und Matrizen bedeutet und wir haben uns auch Kriterien angeschaut, wann eine

Matrix diagonalisierbar ist, nämlich genau dann, wenn das zugehörige charakteristische

Polynomen in den Jahrfaktoren über dem Körper zerfällt und besonders wichtig die algebraischen

und geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte übereinstimmen. Dann haben wir uns anschließend

aber auch Beispiele angesehen, bei denen klar wurde, diese Matrix ist nicht diagonalisierbar.

Das war einmal, weil das charakteristische Polynomen Nullstellen nicht in dem Körper

hatte und das war in dem Fall in R. Und in einem Beispiel haben wir gesehen, dass es einen Eigenwert

gab zu einer Matrix, der unterschiedliche Vielfachheiten hat. Das heißt, in dem Fall

war die geometrische Vielfachheit echt kleiner als die algebraische Vielfachheit und damit konnten wir

entscheiden, die Matrix ist nicht diagonalisierbar. Das war natürlich sehr schade, denn wie wir schon

anfangs motiviert haben, sind diagonalisierbare Matrizen für uns besonders schön, da wir wissen,

wir finden eine ähnliche Matrix, an deren Gestalt wir eigentlich alle nötigen Informationen ablesen

können, nämlich den Rang, die Eigenwerte, die Regularität. All das können wir an einer

diagonalen Matrix ablesen und sie hat den großen Vorteil, dass sie sehr dünn besetzt ist und wir

sie für Berechnung gerade in der Numerik wunderbar nutzen können. Jetzt kann man sagen, okay, leider

gibt es Matrizen, wie wir gesehen haben, die sind nicht diagonalisierbar, können wir denn überhaupt

nichts tun und zum Glück gibt es noch eine andere Äquivalenzklasse von Matrizen, nämlich die

sogenannten trigonalisierbaren Matrizen, die wir uns in diesem Video anschauen werden. Das heißt,

das Thema des heutigen Videos wird sein, trigonalisierbarkeit von Endomorphismen und Matrizen.

Und dazu wollen wir uns erstmal überlegen, was heißt denn trigonalisierbarkeit. Trigonalisierbarkeit

heißt nichts anderes, wie es gibt eine Matrix, die ähnlich ist, die eine rechte obere Dreiecksgestalter,

daher der Name trigonalisierbar. Und das Ganze wollen wir mal festhalten und dann gleich entscheiden,

wann ist denn solch eine Matrix trigonalisierbar. Das heißt, wir beginnen mit der Definition von

trigonalisierbarkeit. Also wir machen die Definition sowohl für Endomorphismen als auch

für Matrizen. Das heißt, wir beginnen mit den Endomorphismen. Ein Endomorphismus f heißt

trigonalisierbar, wenn es eine Basis gibt b, das Vektorraum ist v, sodass die darstellende Matrix

bezüglich b eine obere rechte Dreiecksmatrix ist. Also wir müssen nur eine Basis finden,

bezüglich der die darstellende Matrix recht obere Dreiecksgestalt hat. Wenn es eine Basis b von v

gibt und wir hatten gesagt, der Endomorphismus geht von v nach v, sodass die darstellende Matrix,

die hatten wir bezeichnet mit m, b, bezüglich des Endomorphismus f von f eine obere rechte Dreiecks

Gestalt hat oder obere rechte Dreiecksmatrix ist. Das war die Definition für den Endomorphismus.

Für die Matrix ist es etwas leichter zu formulieren. Wir sagen eine Matrix a aus Körper n Kreuz n,

heißt trigonalisierbar, falls sie ähnlich zu einer oberen rechten Dreiecksmatrix ist.

Das heißt, wir müssen nur eine Transformationsmatrix finden, die regulär ist,

sodass wir in eine obere rechte Dreiecksgestalt kommen. So das war die Definition von

trigonalisierbarkeit und es wird klar, dass diagonalisierbarkeit ein Spezialfall ist,

denn jede Diagonalmatrix ist insbesondere auch in rechter oberer Dreiecksform, aber nicht jede

trigonalisierbare Matrix ist auch diagonalisierbar, wie wir im Beispiel im letzten Video schon

gesehen haben. Naja, was bringt uns das, wenn wir Matrizen trigonalisieren können? Wir haben noch

einige der Eigenschaften aus den diagonalisierbaren Matrizen retten können. Insbesondere können wir

den Rang der Matrix ablesen, wir können sehen, ob sie regulär ist und die Eigenwerte bleiben

auf der Hauptdiagonalen stehen. Das liegt ganz einfach daran, da wir sagen, eine Matrix ist

ähnlich zu einer oberen rechten Dreiecksgestalt. Wir wissen schon aus einem der Videos der Vorlesung,

dass dann die charakteristischen Polynomen übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass

die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen stehen müssen, damit diese Aussage zutrifft. Das heißt,

eine Matrix, die ähnlich ist zu einer rechten oberen Dreiecksmatrix, die können wir überführen zu

dieser trigonalisierung und dann haben wir immer noch schöne Eigenschaften. Das einzige, was wir

verlieren werden, ist, dass die Matrix nicht unbedingt dünn besetzt sein muss. Also es kann

durchaus sein, dass über die Hälfte der Einträge immer noch ungleich Null sind. Das ist in der