Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nirnberg präsentiert.

«Gut Willen, Dewitt! mere Zweige Ça wir hatten also angefangen das

sogenannte schmidsche oder normalisierungsverfahren zu besprechen

jetzt wollen wir das was er mehr zweigesehen haben allgemeinen einem

vonир reichem machen wir haben also einen endlich dimensionalen unterraum

Das heißt also wir haben Vektoren V1 bis Vk, die einen k-dimensionalen Unterraum aufspannen,

linnaunabhängige Vektoren und wir wollen jetzt,

jetzt mal zurückgehen, wir wollen, also das ist diese Situation und wir wollen jetzt eine

Ortonormalbasis für diesen Raum finden, also wir wollen Vektoren u1 bis uk finden, die genau den

gleichen Raum aufspannen. Genauer soll sogar ein bisschen mehr gelten, wenn wir die sukzessive

größer werdenden Räume vi anschauen, die eben nicht von allen, jetzt muss ich mich korrigieren,

das heißt hier nicht k, sondern m, die nicht von allen m-Vektoren aufgespannt werden, sondern v1

eben vom ersten v2 vom ersten und zweiten und so weiter, dann soll die diese folge, diese

endliche folge von vektoren ui genauso sein, das heißt u1 soll den v1, Raum v, groß v1 aufspannen,

u1 und u2 soll v2 aufspannen und so weiter. So jetzt hatten wir schon gesehen, der Anfang ist

ganz einfach, v1, wo wir nur den einen basisvektor klein v1 haben, da macht die orthogonalität

kein Problem, da müssen wir nur die länge anpassen, das heißt also u1 wird einfach dadurch definiert,

dass die länge, das v1 auf die länge 1 normiert wird, indem mit dem entsprechenden

1 durch normfaktor multipliziert wird. Es ist klar, da wir nur die länge des basisvektors

geändert haben, ist auch der jeweils aufgespannte Raum der gleiche. Wenn wir jetzt zum zweiten

vektor kommen, zum vektor v2, dann wird er ja im allgemeinen grob gesprochen schräg, also im allgemeinen

nicht orthogonal zu dem jetzt definierten u1 stehen, das heißt also wir müssen sozusagen

einen anteil aus diesem v2 wegnehmen, der gerade diese nicht orthogonalität ausmacht, das heißt

wir zerlegen und das können wir inzwischen alles ganz allgemein, wir zerlegen den vector in seinen

anteil, der orthogonal dazu liegt und seinem anteil der in dem schon aufgezeugten raum u1 liegt und

den anteil nehmen wir weg, das machen wir dadurch, dass wir von v2 die orthogonale projektion des

vektors v2 auf den vektor, auf den eindimensionalen raum, der von u1 aufgespannt wird, wegnehmen.

Diese orthogonale projektion können wir explizit angeben, denn wir haben hier eine orthonormal

basis, das heißt wir müssen einfach hier die vorherige effizienten bilden, das heißt die

skala abprodukte zwischen dem zu projizierenden vector und dem basis vector, das heißt das ist

das was wir bilden, aber dieser ausdruck der hier steht, der ist wiederum gleich wie wir gesehen

haben der orthogonalen projektion auf das orthogonale komplement von u1, das heißt also wir haben per

definition jetzt einen vector erzeugt, der senkrecht auf u2 steht. Wenn man das vielleicht doch mal

nachprüfen möchte kann man das, der senkrecht auf u1 steht mit diesem vector u2-strich. Wenn man

noch mal nach dieser orthogonalität noch mal nachprüfen möchte kann man das natürlich auch

direkt machen, man kann dieses skalarprodukt ausrechnen, da kommt man hier vom ersten anteil

u1v2 und vom zweiten anteil bekommen wir diesen faktor u1v2 und noch mal mal skalarprodukt u1u1,

das ist aber 1 wegen der normierung des vectors, also bekommen wir summand minus summand also 0

heraus. Sieht man noch mal direkt, was wir aber eigentlich schon allgemein wissen, weil das einfach

die projektion aufs orthogonale komplement ist. Jetzt müssen wir diesen schritt abschließen,

indem wir den neu gewonnenen vector die richtige länge geben, dadurch ändern wir an der

orthogonalität nichts und zum abschluss müssen wir noch sehen, dass diese beiden neuen vektoren

oder genauer gesagt, dass der von diesen beiden vektoren aufgespannte raum wirklich der raum

u2 ist. Für den aufgespannten raum ist es jetzt natürlich eine ortonormal basis, aber wir müssen

sehen, dass es gleich u2 ist. Was wir sofort sehen, dass u2 in diesem, Entschuldigung,

habe ich mich in der notation vertan, also wir definieren jetzt u2 als den span dieser beiden

vektoren, das ist der neue zweidimensionale raum, der sollte jetzt gleich dem alten

zweidimensionalen raum v2 sein. Erste Bewerbung ist u2 ist eine teilmenge von v2. Warum? Wir haben

nur lineare kombinationen aus alten basis vektoren gebildet. Was haben wir gemacht? v2,

wo sehen wir das jetzt am besten? Wir haben u1 ist sowieso übernommen worden und u2, das ist jetzt