So, hallo. Wir haben ja gestern über Potenzreihen gesprochen. Ich wiederhole mal kurz, wie die

Potenzreihen aussehen. Die haben die Form einer unendlichen Reihe von Potenzen, Summe

n gleich 0 bis unendlich, an mal x hoch n. Also bei einer unendlichen Reihe würden hier nur die

ans stehen, aber hier werden die ans noch mit den Potenzen x hoch n multipliziert, deshalb ist es

eine Potenzreihe. Bei den Zahlenreihen wissen Sie ja, dass die manchmal konvergieren oder nicht.

Hier hängt es von dem x ab. Wenn das x zum Beispiel 0 ist, ist diese Potenzreihe immer

konvergent. Tatsächlich gibt es hier den sogenannten Konvergenzradius, also ein symmetrisches Intervall

um die 0 und in dem Intervall konvergiert die Reihe, also in dem offenen Intervall und im

Komplement des abgeschlossenen Intervalls ist die Reihe divergent. Es kann aber auch sein,

dass die Potenzreihe überall konvergiert, wie bei der Exponentialreihe. Also hier existiert ein

Konvergenzradius rho. Das rho ist eine Zahl, die ist größer gleich 0. Falls der Betrag von x echt

kleiner als rho ist, ist die Potenzreihe konvergent. Wenn rho gleich 0 ist, ist die Potenzreihe nur im

Nullpunkt konvergent. Das ist ein Sonderfall, aber im Allgemeinen, wenn rho größer 0 ist,

haben Sie dann so ein offenes Intervall von minus rho bis rho und da konvergiert die Potenzreihe.

Falls der Betrag von x größer als rho ist, ist die Potenzreihe divergent. Und um diesen Radius,

den Konvergenzradius zu berechnen, haben wir schon ein Kriterium gesehen, das Quotientenkriterium.

Rho ist nämlich, wenn der Grenzwert existiert, der Liemes für N gegen unendlich, Betrag von An

durch An plus 1. Hier stehen die An oben und An plus 1 steht im Nenner. Ein Quotientenkriterium

für Konvergenz haben wir auch in dem Abschnitt über Zahlenreihen gesehen. Da gab es als nächstes

Kriterium ein Wurzelkriterium. Und so ein Wurzelkriterium zur Berechnung dieses

Konvergenzradius rho kann man hier auch wieder angeben. Und das sieht folgendermaßen aus.

Das Wurzelkriterium für Potenzreihen.

Da nimmt man auch wieder die N-te Wurzel der Beträge der Koeffizienten An. Das kennen

Sie ja schon von dem Wurzelkriterium bei den Zahlenreihen. Es sei also die Zahl C gleich

dem Liemes superior, das ist der größte Häufungspunkt, den nimmt man, weil er immer existiert, im

Gegensatz zum Grenzwert, der N-ten Wurzel aus dem Betrag von An. Und das kann 0 sein, irgendeine

Zahl oder auch plusunendlich. Und dieser Wert von C hat etwas mit dem Konvergenzradius rho

dieser Potenzreihe zu tun. Das ist nämlich genau der Kehrwert. Falls also C gleich 0 ist,

gilt rho gleich unendlich. Falls C gleich unendlich ist, gilt rho gleich 0. Und wenn

das C eine reelle Zahl ist, dann ist das rho der Kehrwert davon, also 1 geteilt durch C.

Also falls C größer 0 ist, C Element 0 bis unendlich, gilt rho gleich 1 durch C. Dann

steht das C im Nenner, dann ist es gut, wenn das C größer als 0 ist, damit das definiert

ist. Und dieses Wurzelkriterium bietet sich auch hier wieder an, wenn in den An's irgendwelche

Exponenten stehen, also irgendwas hoch N. Wenn man dann diese N-ten Wurzel aus dem Wurzelkriterium

nimmt, dann fällt das hoch N weg und dann wird es meistens einfach. Dazu folgendes Beispiel.

Wir betrachten die Summe von M gleich 1 bis unendlich 2 plus 1 durch N hoch N mal x hoch

N. Also hier sehen Sie die An's sind 2 plus 1 durch N hoch N. Und wenn man die N-ten Wurzel

davon bildet, fällt dieses hoch N weg. Also das C ist der Liemens-Superior für N gegen

unendlich von 2 plus 1 durch N. Und wenn eine Folge konvergent ist, dann ist dieser Liemens-Superior

einfach gleich dem Grenzwert. Und die Folge 1 durch N kennen Sie ja gut, die konvergiert

gegen 0, also konvergiert hier die Folge gegen 2. Also dann ist die 2 der Grenzwert

und wir können diesen Konvergenzradius rho ausrechnen. Rho ist dann 1 geteilt durch

C, also in dem Fall ist es 1 halb. Und hier sieht man sehr schön, wie das Wurzelkriterium

besonders gut funktioniert, wenn in der Definition von dem An schon so eine Potenz hoch N vorkommt.

Das Wurzelkriterium ist besonders geeignet,

wenn in diesen Zahlen An in den koeffizienten Potenzen auftreten. Wir hatten in der letzten

Vorlesung auch schon ein Beispiel zu diesem Quotientenkriterium gesehen. Und da haben wir

ja den Konvergenzradius ausgerechnet. Erinnern Sie sich noch daran? Das war dieser Grenzwert,

wo die eutische Zahl rauskam. Weiß denn noch jemand? Wir müssen nur Ja sagen. Ja genau,

das war das 1 plus 1 durch N hoch N. Da kam e heraus als rho. Und dieses Beispiel können