Ja, meine Damen und Herren, wir haben uns bis jetzt ja die ganze Zeit beschäftigt mit

1D Elementen, also dem Stab und dem Balken, was natürlich auf Dauer ein bisschen langweilig ist

und in der Praxis auch nicht die Großteil der Rechnung ausmacht, wenn Sie nicht gerade irgendwie

Kranbauer sind und solche Gittermasten ausrechnen wollen. Die benutzen das, aber in der Praxis haben

Sie es ja typischerweise mit 2D und 3D Körper, also normalerweise dreidimensionalen Volumen zu tun.

Und das wollen wir uns heute anschauen, wie man das macht. Da stößt man nämlich auf ein kleines

Problem, dass man aber mit dem sogenannten isoparametrischen Konzept in Griff kriegt.

Wenn ich mir jetzt anschaue, wir machen das 2D, weil sonst kann man es schlecht zeichnen und

auch die Formel werden halt länger, aber 3D ergibt sich dann mehr oder weniger automatisch,

wenn ich mir das anschaue und ich habe hier über x und y ein ebenes Element, dann haben Sie das schon

in den Übungen mal gemacht, so ein Vierknoten Element für die Wärmeleitung, war das schon dran?

Genau, dann können Sie das halt formulieren, die Ansatzfunktionen hier durch Multiplikation

der ganz normalen Formfunktion 1 – x durch L und x durch L mal 1 – y durch L, y und so weiter.

Also Lagrange Element generieren durch Multiplikation hier Lx, Ly, das ist hier Funktionen

durch Multiplikation der 1D Formfunktion. Und das Integral über die Fläche können Sie halt über

dx und dy integrieren, weil die Integralgrenzen hier halt, klar Sie integrieren von 0 bis Lx und von 0

bis Ly, ist alles gut, das ist kein Problem. So ein Element funktioniert aber nur deshalb so schön,

weil das Achsen parallel ist in den Kanten. Wenn ich jetzt aber ein beliebiges Element haben möchte,

und zwar in der Form, das hier x, y und mein Element, mein Vierknoten Element, sieht vielleicht

so aus. Das möchte ich ja auch gerne haben, weil ich vielleicht ein Gebiet habe, was nicht

in Rechteck ist, sondern irgendwas komplizierter geformt ist. Dann möchte ich das halt auch

vernetzen können, dazu brauche ich eigentlich beliebig geformte Elemente, immer noch erst mal

Vierknoten Elemente. Für dieses Element habe ich jetzt das Problem, die Formfunktion hierüber

kann ich nicht mehr mit 1 minus x durch Lx mal 1 minus y durch Ly beschreiben. Und die Integrationsgrenzen

sind jetzt auch nicht mehr von hier bis da und von hier bis da. Die Integrationsgrenzen sind jetzt

wiederum Funktionen von x und y selber. Ich möchte über diese Fläche integrieren hier. Wie mache ich

das? Noch schlimmer wird es, wenn ich jetzt kein Vierknoten Element nehme, sondern vielleicht ein

Achtknoten Element. Dann könnte ich jetzt so ein Serendipity Element verwenden. Da liegen die Knoten

vielleicht auf einer Linie, aber die Knoten hier nicht. Und dann habe ich hier so gekrümmte Ränder.

Auch das möchte ich gerne machen. Das geht aber nicht offensichtlich. Das heißt hier,

ich schreibe mal hier simpler Produktansatz von Formfunktionen in x und y

funktioniert nicht. Das heißt hierfür habe ich jetzt extreme Probleme schon alleine meine

Integralgrenzen da hinzuschreiben. Wenn ich das über dx und dy integrieren möchte, dann müsste

ich jetzt schon irgendwie wissen, wie mein Integral meinetwegen hier dy aussieht, weil die

Funktion hier y von x abhängt. Und das x hängt von y ab. Da tue ich mich jetzt unheimlich schwer,

dieses Integral von den Grenzen alleine hinzuschreiben. Und auch Formfunktion kann ich kaum in

x und y hier angehen. Die Idee, das jetzt zu lösen, ist folgende. Ich führe eine Koordinatentransformation

durch, indem ich mein krummliniges oder irgendwie schiefwinkliges Element abbilde auf ein anderes

Koordinatensystem, das irgendwie geeigneter ist, indem ich jetzt nicht nur die Verschiebung

approximiere, also jetzt mein u und v oder ux, uy von x und y, sondern die Geometrie selber. Also durch eine

Geometrie-Aproximation, ebenfalls durch Formfunktion.

Das heißt, die Idee ist folgendes zu machen. Wenn ich hier mein seltsames irgendwie schief im

Raum liegendes Element habe, das abzubilden auf ein gutmütigeres Koordinatensystem, in dem alles

schön rechtwinklig ist. Nämlich hier mein RS-System, in dem ich hier dieses Element auf

ein Einheitsquadrat projiziere. Und das hat hier tatsächlich die Koordinaten 1, 1, minus 1, 1,

minus 1, minus 1 und hier habe ich 1, minus 1. Also das heißt, ich habe eine Abbildung

von diesem auf dieses Gebilde, beziehungsweise das 8-Knoten-Element auf ein entsprechendes 8-Knoten-Element

in dem RS-Koordinatensystem. Und diese Transformation, die jetzt nur die Geometrie betrifft,

ist gar keine Verschiebungs-Aprox, sondern ich approximiere die Geometrie, die schreibe ich

genauso hin wie die Ansatz für die Verschiebung, indem ich hier Formfunktionen H mal Xe ansetze.