Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Gut, wo sind wir denn zurzeit thematisch? Es geht um Lipschitzstabilität und Konvergenz.

Wir hatten das Kapitel vorher etwas über Konsistenzordnungen vom Mehrschrittverfahren gelernt.

Und jetzt geht es eben darum, dass man mit Hilfe der Lipschitzstabilität eben Konvergenzaussagen,

unser Mehrschrittverfahren treffen kann.

Ich möchte nochmal kurz wiederholen, was ist überhaupt Lipschitzstabilität?

Wir haben ein Mehrschrittverfahren, AHA, heißt Lipschitzstabil in UH,

wenn für gewisse Größen H, Delta und Eta folgende Abschätzungen gelten.

Und zwar für solche Funktionen oder Vektoren WH, dass man diese eben,

wenn AHA, UH, AH, WH, wenn das kleiner ist als ein Delta,

dass dann eben diese Lipschitzabschätzung, also inverse Lipschitzabschätzung, eben gültig ist.

Dann nennt sich unser Mehrschrittverfahren Lipschitzstabil.

Und es lässt sich direkt zeigen, recht leicht, dass wenn unser Mehrschrittverfahren diese Eigenschaft hat

und es ist konsistent zu einer Ordnung P, dann ist es auch konvergent mit der Konvergenzordnung P.

Das sollten Sie das letzte Mal schon kennengelernt haben, ist auch nicht so schwer zu sehen.

Wenn wir hier diese Abschätzung hernehmen, diese Lipschitzstabilität eben ausnutzen

und hier für UH die analytische Lösung Y unserer Differenzallgleichung nehmen,

für WH unsere numerische Lösung YH, die Lösung des Mehrschrittverfahrens,

dann ist hier gerade der Konsistenzfehler und der geht dann gegen Null, wenn das Verfahren konsistent ist.

Gut.

Jetzt wollen wir eine Charakterisierung für diese Lipschitzstabilität finden

und wir gucken uns zunächst mal Verfahren, an deren rechte Seite eben Null ist.

Also Verfahren mit FH gleich Null und haben daher eigentlich nur noch dieses erste charakteristische Polyrom RoH,

Ro von Z und dieses, sagen wir, erfüllt eine Wurzelbedingung, wenn die Nullstellen alle kleiner gleich eins sind

und die Nullstellen, die vom Betrag her gerade eins sind, die sind genau einfache Nullstellen.

Das ist insofern eine wichtige Bedingung oder eine sinnvolle Definition,

weil Mehrschrittverfahren genau dann Lipschitzstabil sind, wenn sie diese Wurzelbedingung erfüllen.

Zunächst mal ein Mehrschrittverfahren mit homogener rechter Seite, also mit FH Null.

Das ist jetzt eigentlich auch die Hauptaufgabe in der heutigen Vorlesung, diesen Satz zu beweisen.

Ich glaube, in der letzten Vorlesung wurde vielleicht schon angesprochen, dass wir das mit dem Satz 3.15 hier tun.

Also dieser Satz impliziert unseren vorhergehenden Satz 3.14.

Dieser sagt eben aus, wir haben hier eine Differenzengleichung

und wenn diese Differenzengleichung oder wenn dieses Polynom hier die Wurzelbedingung erfüllt,

dann lassen sich die Lösungen abschätzen durch die Anfangsdaten, also die ersten M-Einträge von unserer Lösung y

und die Randdaten hier auf der rechten Seite.

Das ist dann auch bekehrt, wenn die Lösungen unserer Differenzengleichung folgen, das erfüllt,

dass jeder Eintrag y durch j gegen Null konvergiert, wenn j gegen unendlich geht

und die rechte Seite auch homogen ist, dann erfüllt dieses Polynom hier oben die Wurzelbedingungen.

Und um den Satz zu zeigen, diesen Satz 3.15, brauchen wir einige Lämmer da.

Ein Lämmer da ist eben dieses. Wir haben eine Matrix A und das charakteristische Polynom erfüllt, eine Wurzelbedingung.

Dann gibt es irgendeine Vektornorm, sodass die erzeugte Matrixnorm kleiner gleich eins ist.

Das möchte ich anfangen zu beweisen.

Also ich werde die Beweise hier vorne an der Tafel machen. Ich denke, Herr Knappner macht das ähnlich.

Beweis von Lämmer 3.16.

Es seien z1 bis zm die m0 Stellen unseres charakteristischen Polynoms von A.

Und das nennen wir Hi mit den Eigenschaften, dass die ersten k0 Stellen gerade vom Betrag her eins sind

und die restlichen m-k0 Stellen eben kleiner als eins. Und die sind wie folgt angeordnet.

So, nun überführen wir die Matrix A in die Jordan-Genormalform von A. Die sieht dann wie folgt aus.

Die Matrix nennen wir dann J. Das ist gerade u hoch minus eins mit einem nicht singulären u mal a mal u.

Und das sieht dann eben so aus z1 bis zk und Jordan-Blöcke jk plus eins bis js.