Hallo, guten Morgen allerseits. Wir sind gerade an einer etwas schwierigen Stelle in der Vorlesung angelangt.

Das heißt, wir wollen uns überlegen, wie wir Systeme von vielen Teilchen, vielen Fermionen oder Bosonen beschreiben.

Wir sind jetzt gerade am Aufstieg sozusagen und das dauert noch mindestens drei Vorlesungsstunden.

Aber dann haben wir einen ziemlich guten Ausblick. Und damit Sie sozusagen nicht den Mut verlieren,

will ich gleich mal erzählen, was man damit dann alles machen kann, wenn man gelernt hat,

Systeme von vielen Fermionen und Bosonen zu beschreiben mit dieser sogenannten zweiten Quantisierung.

Und ein Beispiel für ein System von vielen Bosonen sind solche Wolken von kalten bosonischen Atomen,

die man vorwiegend seit Mitte der 90er Jahre studiert und wo man zum Beispiel es bewirken kann durch Lichtfelder

und durch magnetische Felder, dass man so eine Wolke einsperrt in einem Fallenpotenzial und damit dann Quantenphänomene beobachtet.

Und das einfachste ist, wenn man so ein harmonisches Fallenpotenzial hat und hier befinden sich dann viele bosonische Atome drin,

von der Größenordnung sagen wir einer Million, und dann kann man tatsächlich das System so weit abkühlen mit geschickten Verfahren,

zum Beispiel mit Licht, dass sich all diese oder fast alle diese Atome im Grundzustand ansammeln, im einen Teilchen Grundzustand ansammeln.

Und wir werden ja nachher wieder besprechen, was das eigentlich bedeutet.

Man kann auch weitergehen, man kann auch mit Lichtpotenziale erzeugen für die Atome,

zum Beispiel indem man Interferenzmuster durch gekreuzte Laserstrahlen erzeugt.

Und in so einem Interferenzmuster bildet sich natürlich eine stehende Lichtwelle aus.

Und in dieser stehenden Lichtwelle dann können sich Atome hin und her bewegen.

Und tatsächlich können die Verhältnisse so sein, dass auf jedem einzelnen Platz in jeder einzelnen Mulde vielleicht ein oder zwei oder auch gar keinen Atom sich befinden.

Und die Atome werden dann von Platz zu Platz tunneln und sie werden auch eine Wechselwirkung spüren, wenn zwei Atome gleichzeitig auf demselben Platz sind.

Und all diese Phänomene kann man in kontrollierter Weise an diesen kalten bosonischen Atomen beobachten.

Das sind sogenannte optische Gitter.

Und wenn Sie mich fragen, wie steht es mit Fermionen, einerseits kann man natürlich auch fermionische Atome hier untersuchen,

aber die sind auch aus einem anderen Grund sehr wichtig, weil nämlich Fermionen sind natürlich vorwiegend uns bekannt als Elektronen im Kristallgitter.

Und da möchte man solche Dinge untersuchen wie zum Beispiel folgende Frage, unter welchen, also es gibt ein Phänomen der Supraleitung,

bei hinreichend tiefen Temperaturen werden die Elektronen den elektrischen Strom ohne Widerstand leiten,

und zwar selbst dann, wenn der Kristall eigentlich gestört ist und eigentlich elektrischen Widerstand zeigen sollte.

Und dieses Phänomen der Supraleitung kann inzwischen auch bei Temperaturen bis zu sagen wir 150 Kelvin oder so auftreten, was schon ziemlich groß ist.

Man wäre natürlich daran interessiert, das so gut zu verstehen, dass man eines Tages Supraleitung auch bei Raumtemperatur in irgendeinem Material erzeugen kann,

weil das ganz offensichtlicherweise extrem interessant wäre, um elektrischen Strom verlustfrei über große Distanzen zu transportieren.

Und die Modelle, die man da hinschreibt, um solche Systeme zu verstehen, die starten auch oft wieder von einem Gitter.

Man stellt sich vor, man hat ein Gitter von Orbitalen, in denen sich die Elektronen befinden können.

Jedes Elektron hat dann außerdem noch einen Spin, und so stellt man sich gerade, wie bei den Atomen hier gezeigt, auch wieder vor, dass die Elektronen von Platz zu Platz hüpfen.

Und manchmal sind auch zwei Elektronen an demselben Platz.

Das kann natürlich im einfachsten Fall nur dann passieren, wenn die entgegengesetzten Spin haben, wegen dem Pauli-Prinzip, und dann spüren sie auch wieder eine Wechselwirkungsenergie.

Und das ist das sogenannte Hubbard-Modell für Fermionen oder für Bosonen, und auch das werden wir dann hinschreiben können, wenn wir erst mal diese zweite Quantisierung richtig kennengelernt haben.

Okay. Wir hatten schon damit begonnen, und wir hatten gesagt, wenn wir eine Wellenfunktion für viele Teilchen hinschreiben, dann ist es eine Wellenfunktion, die hängt von all den Koordinaten gleichzeitig ab.

Und wann immer ich so ein X hinschreibe, dann kann man sich denken, es ist eine eindimensionale Koordinate oder vielleicht auch ein Vektor im Dreidimensionalen.

Und wir hatten gefunden, dass es zwei Sorten von Teilchen gibt, entsprechend der Symmetrie, die solch eine Wellenfunktion haben kann.

Denn wenn man identische Teilchen vorliegen hat, dann ist die potenzielle Energie symmetrisch unter Vertauschung von Teilchenkoordinaten, und auch die kinetische Energie symmetrisch, einfach weil die Massen alle gleich sind.

Und dann ergibt sich, dass die Schrödinger Gleichung in der Zeitentwicklung die Symmetrie solch einer Wellenfunktion unter Vertauschung von Teilchenkoordinaten erhält.

Je nachdem, wie die Symmetrie am Anfang war, so bleibt sie für alle Zeiten. Und wir hatten uns überlegt, es gibt eigentlich nur zwei konsistente Möglichkeiten.

Was passiert, wenn ich zwei dieser Teilchenkoordinaten vertausche? Entweder, und das ist die einfachste Möglichkeit, die Wellenfunktion ändert sich überhaupt nicht, ändert überhaupt nicht ihren Wert, sie ist symmetrisch, das nennen wir dann Bosonen, diese Teilchen.

Oder sie bekommt ein Minuszeichen, dann ist sie antisymmetrisch, diese Teilchen nennen wir Fermionen.

Und es gibt halt diese beiden Möglichkeiten, weil wenn ich dann zum zweiten Mal vertausche, um wieder zur ursprünglichen Konfiguration zurückzukommen, sollte ich auch zum ursprünglichen Wert der Wellenfunktion zurückkommen.

Und die einzige Zahl, oder die einzigen beiden Möglichkeiten für eine Zahl, die, wenn sie quadriert ist, wieder eins ergibt, ist entweder eins oder minus eins.

Okay, das heißt, wir hatten Bosonen mit den symmetrischen Wellenfunktionen.

Und wir hatten die Fermionen mit der antisymmetrischen Wellenfunktion.

Und Sie sehen schon an meiner Schreibarbeit, dass das Ganze etwas mühsam werden würde, wenn man tatsächlich all die komplizierten Systeme mit den vielen Teilchen immer in dieser Schreibweise von der Wellenfunktion mit all ihren Koordinaten hinschreiben wollte.

Wir hatten dann begonnen, uns folgende Frage zu stellen. Wie können wir in diesem Vielteilchen Hilbertraum, wo diese Wellenfunktionen leben, eine vernünftige Basis konstruieren?

Und wir hatten angenommen, dass wir für das Ein-Teilchen-Problem, wenn wir hier nur eine Koordinate hätten, schon eine Basis gefunden haben. Das könnte zum Beispiel die Energiebasis sein.