Hallo, es ist Zeit für die Persönsaufgaben von Blatt 4. Wir beginnen mit der Aufgabe P9,

in der wir uns folgende Reihe anschauen. K gleich 0 bis und endlich von minus eins hoch K,

Wurzel K durch K plus eins. Wenn wir so eine Reihe haben und nicht genau wissen,

ob sie konvergiert oder divergiert, dann schlage ich folgende Reihenfolge vor von Kriterien,

die man sich der Reihe noch anschauen sollte. Das erste ist das Divergenz Kriterium. Das heißt,

wenn AK nicht gegen 0 konvergiert, daraus folgt Divergenz. Das zweite ist das Wurzel- oder

Quarzerten Kriterium. Meistens gibt es eins, das ein bisschen besser geeignet ist, aber die meisten,

also meistens ist es mit einem von beiden lösbar. Wenn das nicht funktioniert, kann man sich das

Leibniz Kriterium anschauen. Man kann auch überlegen, das vor dem Wurzel- oder Quarzerten

Kriterium zu überprüfen. Wir machen das mal in dieser Reihenfolge. Wenn das alles nicht

funktioniert, dann sollte man nach einer Majorante suchen, die konvergiert oder einer

Minorante, die divergiert und wenn das alles nicht funktioniert, dann tricksen. Also versuchen,

das exzit auszurechnen. Manchmal geht das. In manchen Fällen werden Internos KBb da,

was da zu sehen ist. Okay, fangen wir an. Divergenz Kriterium. AK ist minus eins hoch K,

Wurzel-K durch K plus eins. Da können wir jetzt Wurzel-K ausklammern und kürzen. Das heißt,

wir haben eins durch Wurzel-K plus eins durch Wurzel-K und das konvergiert gegen null für K

gegen Wurzel-K. Das heißt, das Divergenz Kriterium ist nicht anwendbar. Ich möchte, dass Sie

daran denken, dass die Tatsache, dass diese Folge gegen null konvergiert, nicht heißt,

dass die Reihe konvergiert. Das ist ein rein negatives Kriterium. Nur wenn die Folge nicht

gegen null konvergiert, dann haben wir definitiv Divergenz der Folge. Der Reihe meine ich.

Okay, Wurzel- und Prozent-Kriterium. Bei so einer Reihe, da haben wir schon Brüche

drin, da bietet sich an, das Prozent-Kriterium anzuschauen. Das kommt dann raus. AK plus eins

durch AK. Also K plus eins im, natürlich soll dieses K plus eins hier unten im Index

stehen. AK plus eins durch AK. Durch diese Betragsstriche aus und fallen die ganzen minus

eins hoch K-Termen weg. Das heißt, wir schauen es übrigens auch gleich in Niemens Superio an,

das schreibe ich gleich mal dazu. Da bekommen wir Wurzel aus K plus eins durch K plus zwei.

Alles dividieren wir durch Wurzel aus K durch K plus eins. Jetzt alles in die richtige Reihenfolge

bringen. Wurzel K plus eins mal K plus eins durch K plus zwei mal Wurzel K. So, gegen was

konvergiert das? Gleicher Trick wie hier, wir müssen jetzt hier K und Wurzel K ausklammern und

das haben wir jetzt schon tausendmal gesehen. Das da, naja, da kommt dann überall eins mal eins mal eins

raus, da kommt gerade eins raus. Ups, ich habe überall die Niemens Superio vergessen. Erstmal

ist es Niemens Superio, aber dann sieht man, dass es tatsächlich eine konvergente Folge ist,

dann kann man den Niemens hinschreiben und dann ist es gleich eins. So, das Kulisieren-Kriterium

und im Übrigen auch das Wurzelkriterium liefern keine Aussage in dem Fall, wo man gerade hier

bei eins auskommt. Das heißt, das hat auch nicht funktioniert. Das heißt, das ist nicht anwendbar,

beziehungsweise es gibt keine Aussage. Wir wissen immer noch nicht, ob die Reihe konvergiert oder

divergiert. Drittens, Leibnizkriterium und ehrlich gesagt, wenn man ein minus eins hoch K davor sieht,

sollte man sofort ans Leibnizkriterium denken. Das Leibnizkriterium ist anwendbar, wenn wir

einen alternierenden Term haben, alternierende Kompizienten und die Betrag-AK, die sollen monoton

fallen sein. Vielleicht soll ich es nicht so ausdrücken, ich mache es lieber anders. Konform

zur Vorlesung schreiben wir lieber. Die hier, die nehmen wir jetzt einfach BK, das sind die ohne

Vorzeichen. Die BK müssen größer als Null sein und die BK müssen monoton fallend gegen Null sein.

Die Frage ist, ob das stimmt. Die BK größer als Null, das stimmt, die sind natürlich alle

größer als Null, weil wir haben nur eine Wurzel und so einen Term, die sind alle größer als Null,

das ist richtig. Jetzt müssen wir noch zeigen, dass die hier monoton fallen sind.

Monoton fallen ist das richtig? Schauen wir uns die mal an. BK plus eins durch BK. Wenn die alle

positiv sind, können wir BK plus eins durch BK anschauen und dann können wir es abschätzen zu eins.

Wenn wir es abschätzen können zu eins, dann ist es eine monoton fallende Folge.

Das war, ich habe es schon mal hingeschrieben, ich mache es nochmal, das ist also Wurzel aus K plus

eins durch K plus zwei geteilt durch Wurzel K durch K plus eins und das war Wurzel K plus eins K plus