Wir haben uns in den letzten Wochen mit besonderen Eigenschaften von Endomorphismen beschäftigt und

festgestellt, dass gewisse Klassen von Endomorphismen diagonalisierbar sind,

was für uns sehr schöne mathematische Eigenschaften hatte. Und in anderen Fällen

haben wir gesehen, dass falls eine Matrix oder ein Endomorphismus nicht diagonalisierbar ist,

so können wir zumindest eine Tri-Gonalisierbarkeit erreichen, was uns zumindest gestattet die

Eigenwerte des Endomorphismus auf der Hauptdiagonal der darstellenden Matrix abzulesen. Jetzt ist es so,

dass Tri-Gonalmatrizen nicht alle schönste Eigenschaften haben, denn einige Dinge können

wir immer noch nicht ablesen, zum Beispiel die Dimension der Eigenräume. Das ist etwas,

was man sich wünschen würde, dass wirklich alle Eigenschaften des Endomorphismus sofort

ablesbar sind in dieser darstellenden Matrix. Außerdem kann es eben sein, dass bei der Tri-Gonalmatrix

die obere rechte Hälfte voll besetzt ist. Das ist gerade aus Sicht der Numere eher ein ungünstiges

Verhalten, denn wenn wir uns ein iteratives Verfahren anschauen, dann kommt es eben durch

die Mehrfachanwendung oder die Potenzierung des Endomorphismus dazu, dass man sehr viele

unnötige Rechenoperationen durchführt. Das heißt, man würde sich wünschen, dass die obere rechte

Hälfte der 3x-Matrix möglichst dünn besetzt ist mit vielen Nullen. Das würde uns Rechenoperationen

sparen. Auch bei expliziten Lösungen von linearen Differentialgleichungen, das werden wir in einem

späteren Kapitel dieses Kurses sehen, ist es wünschenswert, eine möglichst geringe Kopplung

der einzelnen Differentialgleichung zu bekommen. Das heißt, man möchte dort auch sehr viele Nullen

haben und das heißt, man wünscht sich eine obere rechte 3x-Form, die möglichst nicht beliebig ist,

sondern dünn besetzt. Jetzt kann man sich natürlich die Frage stellen, gibt es denn eine

kanonische Wahl einer Basis B, sodass die darstellende Matrix eines Endomorphismus bezüglich

dieser Basis genau diese Eigenschaften hat, nämlich, dass sie einfach aufgebaut ist mit vielen Nullen,

dass sie weitestgehend interpretierbar ist, dass wir den Rang, das Spektrum, aber auch die Dimension

der Eigenräume ablesen können und wenig Wahlmöglichkeiten liefert. Wir haben auch schon bei dem

Algorithmus zur Trigonalisierung gesehen, dass die Wahlmöglichkeiten unterschiedliche Repräsentationen

ermöglichen, was wir sehr unschön fanden und als Mathematiker würden wir uns wünschen, es gibt dort

irgendwie eine kanonische Wahl. All diese Fragen sind nicht sehr einfach zu beantworten. Zum Glück

gibt es eine solch eindeutige und einfache Gestalt und damit beschäftigen wir uns im Folgenden,

nämlich in der Normalform-Theorie und das, was wir uns in der kommenden Woche nur verkürzt

anschauen können und das nicht die gesamte Theorie abdeckt, dafür bräuchten wir viele mehr Wochen und

viel mehr Sätze und Beweise, ist die Herleitung der sogenannten Jordanischen Normalform. Das heißt,

wir beschäftigen uns in der nächsten Woche mit der Jordanischen Normalform, die eben diese gewünschten

Eigenschaften mit sich bringt und wie ich gerade schon sagte, die Theorie dahinter ist wunderschön.

Eigentlich behandelt man dieses Kapitel in der linearen Algebra über mehrere Wochen. Man

zergliedert die Theorie noch in viele weitere Unterkapitel mit hilfreichen Eigenschaften,

um wirklich komplett zu verstehen, wie diese Konstruktion entsteht. Innerhalb dieses Kurses

müssen wir uns leider nur auf die wichtigsten Eigenschaften beschränken, sodass sie die Jordanischen

Normalform zum Schluss verstehen und auch einmal den Algorithmus gesehen haben, wie diese Form

hergeleitet werden kann, ohne zu tief einzusteigen in die abstrakte Theorie der Normalform. Bevor wir

jetzt aber einsteigen können, brauchen wir einen viel wichtigeren Begriff, der es uns erlaubt,

diese Jordanische Normalform herzuleiten und zwar ist das der Begriff der Nilpotenz. Wir fangen an

mit einer Definition im Folgenden, nämlich was ist der Nilpotenz einer Matrix oder eines

Endomorphismus. Auch hier möchte ich die Definition für beide mal separat geben, damit klar wird,

worum es sich hier handelt. Also zuerst wollen wir für einen Endomorphismus festhalten, was

Nilpotent bedeutet. Ein Endomorphismus f von unserem K-Vektor v nach v heißt Nilpotent.

Genau dann, wenn es ein Index gibt, den nennen wir mal K, Index K aus den natürlichen Zahlen

existiert, sodass die K-fache Anwendung dieses Endomorphismus zur Null-Abbildung führt. Also

sodass, schauen wir mal hier, dass die Abbildung fk, das ist die Karte Potenz dieses Endomorphismus,

einfach k mal hintereinander ausgeführt, kann das auch noch mal auseinanderschreiben, f angewendet

auf f, angewendet auf f und das Ganze wollen wir k mal machen. Das Ganze soll am Ende die