Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, schönen guten Morgen. Ich denke, wir können schon anfangen. Also wie Sie sehen,

werde ich auch heute Herrn Knabner noch mal vertreten müssen. Gut, worum soll es heute gehen?

Wir hatten gestern ein Resultat gehabt über die Stabilität und damit auch das Konvergenzverhalten

von Linian oder nicht Linian, Mehrschrittverfahren. Heute soll es um den Begriff der A-Stabilität bei

Mehrschrittverfahren gehen. Und wir werden sehen im Laufe der heutigen Vorlesung, dass die A-Stabilität

ein doch recht starker Begriff ist, etwas zu starker Begriff für Mehrschrittverfahren und

eigentlich nur implizite Mehrschrittverfahren mit recht geringer Ordnung am A-Stabil sein können.

Gut, was bedeutet der Begriff der A-Stabilität? Im Prinzip möchte man mit einem numerischen

Verfahren, in diesem Falle einen Mehrschrittverfahren, das qualitative Verhalten von Lösungen,

steifer Differenzallgleichungen nachahmen. Und wenn das unsere numerische Lösung tut,

nennen wir das Verfahren A-Stabil. Also Kapitel 3.4 Stabilität. Ach so, ja heute, das wird ein reiner

Tafelvortrag, da keine Folien vorliegen. Es werden im Nachhinein dann die Folien auf Stutton hochgeladen,

aber heute geht alles an der Tafel. Also Stabilität bei fester Schrittweite.

Wir betrachten die Anwendung eines Mehrschrittverfahrens,

das durch die zwei charakteristischen Polynome rho und sigma gegeben ist.

Das ist das ggene lineare Mehrschrittverfahren auf die skalare Testgleichung.

Wie wir das schon bei den Einschrittverfahren kennen.

Y-Strich ist Qy. Mit dem Anfangswert yt0 sei y0 und Q, die Konstante, sei irgendeine komplexe Zahl.

Gut, wenden wir auf diese Gleichung ein lineares Mehrschrittverfahren an,

erhalten wir die lineare Differenzengleichung.

Summe über ak mal yk plus j ist gleich h mal die Summe über bk mal f von tk plus j

yk plus j. Das ist ganz allgemein unser lineares Mehrschrittverfahren.

In dem obigen Fall ist die rechte Seite f gerade nichts anderes als Qj.

Also können wir das hier ersetzen und das ist dann also nichts anderes als bk Qyk plus j.

Das heißt, wenn wir das jetzt einfach hier auf die linke Seite bringen,

können wir das auch schreiben als die Summe von k gleich 0 bis m über ak minus h mal q bk mal yk plus j gleich 0.

So und dieses Polynom hier wird entscheidend sein für unseren Stabilitätsbegriff.

Daher nennen wir dieses Polynom das Stabilitätspolynom

und für das Verhalten von unserer Lösung yj ist dieses eben maßgebend.

Also für das Verhalten von yj ist das Stabilitäts, dass wir mit hi bezeichnen wollen.

Hi von z hq sei also definiert als das Polynom mit den Koeffizienten ak minus hq bk mal z hoch k.

Also wenn wir das mit den ersten und zweiten charakteristischen Polynomen rho und sigma schreiben möchten,

ist das gerade rho von z minus hq sigma von z maßgebend.

Gut, wenn wir uns hier oben nochmal diese Differenzen-Gleichung anschauen,

ist das im Prinzip eine Differenzen-Gleichung mit homogener rechter Seite und Koeffizienten hier von dieser Form ak minus hq bk.

Wenn wir jetzt davon ausgehen, dass unser Stabilitätspolynom die Wurzelbedingungen erfüllt,

dann haben wir gestern mit dem Satz 3,14 kennengelernt, dass dann auch unsere Lösung stabil ist und damit auch beschränkt ist.

Dass das Verfahren also das Verfahren Lipschitz stabil ist und die Lösung damit beschränkt ist.

Also gilt die Wurzelbedingung für dieses Stabilitätspolynom.

So bleibt nach Satz 3,15 unsere Lösung beschränkt.

Und was hieß es nochmal, die Wurzelbedingungen zu erfüllen?

Es heißt, dass dieses Polynom, alle Nullstellen dieses Polynoms vom Betrag her kleiner gleich eins sein sollen

und gerade diese, die vom Betrag her gleich eins sind, sollen einfache Nullstellen sein.

Schränken wir diese Anforderungen noch etwas zusätzlich ein,

nämlich dass wir sagen, dass alle Nullstellen vom Betrag echt kleiner eins sind.

Dann gilt sogar Folgendes für die Nullstellen z von Hq,

so werden wir die Nullstellen von diesem Stabilitätspolynom nennen.

Also diese hängen ab von natürlich dem Argument Hq von Chi.

Dann ist die Lösung natürlich nicht nur beschränkt,