Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Also fangen wir an mit der üblichen zehnminütigen Verspätung. Ich muss die zehn Minuten dann

natürlich wieder irgendwo reinholen, ist auch klar. Das liegt eben daran, wenn man eine Firma

mit dem schönen Namen Frankenlehrmittel beauftragt, die Technik herzustellen.

Okay, gut. Wir haben uns jetzt einmal in die Tiefen der klassischen Geometrie begeben.

Das heißt also, wir haben gesehen, was man mit Affinitäten für Normalformen bei Quadriken

erreichen kann. Ich habe hier noch einmal den Satz zur Erinnerung, den wir als wesentlichen

Satz hergeleitet haben. Im Nachgang ist mir aufgefallen, dass der ein bisschen unglücklich

formuliert ist, weil wir tatsächlich mehr Information haben, als in diesem Satz drinsteckt.

Und diese mehr Information auch ausnutzen, um die Klassifikation für zwei- und drei-Raumdimensionen,

die wir uns auch schon angeschaut haben, noch einmal zu verifizieren. Also schauen wir uns

noch einmal an, was rauskommt. Wir wissen, dass wir eine Quadrik, die hat also im Allgemeinen

eine allgemeine symmetrische Matrix, hier im quadratischen Anteil, einen Vektor, der den

linearen Anteil definiert oder eine Konstante, die eben den konstanten Anteil definiert. Die

können wir durch affine Transformationen auf eine solche Normalform bringen. Es gibt nur

noch Quadrate, es gibt nur R viele, R ist der Rang der Matrix A. Und dann gibt es zwei

Situationen. Es gibt eine Situation, wo nur ein konstanter Anteil noch zusätzlich auftaucht,

der auch Null sein kann. Und es gibt eine Situation, wo zusätzlich ein linearer Anteil

auftaucht, ohne konstanten Anteil. Das ist jetzt nicht sehr speziell, denn sobald man

einen linearen Anteil hat, kann man natürlich durch eine kleine Translation den konstanten

Anteil mit in diese eine Variable aufnehmen. Wobei das jetzt hier so ist, wir können uns

im linearen Anteil beschränken auf die R plus einte Variable. Das ist natürlich Konvention,

dass es gerade die R plus einte ist. Es könnte auch irgendeine andere der Variablen zwischen

R plus eins und N sein, wenn eben R die ersten R Variablen sind, wo in dieser Normalform

sozusagen hier die nicht null Eigenwerte stehen. Gut, jetzt die Differenzierung zwischen diesen

drei Fällen. Und vergessen Sie mal das, was hier in der Mitte steht und nehmen Sie diese

Differenzierung hierfür als eine allgemeine Aussage. Das heißt also, wir haben ja jetzt,

wir haben also auf der einen Seite die Matrix A, die Ausgangsmatrix A der Quartrik, die

hat Rang R. Dann haben wir die Matrix A Strich, die erweiterte Koeffizientenmatrix, dadurch,

dass als Spalte und Zeile das Tupel der B hin, dazu gefügt worden ist und in der N plus

einten Position noch die Zahl C. Das ist die Matrix A Strich. Wir haben uns allgemein überlegt,

dass diese Matrix A Strich 3, dass da prinzipiell drei Situationen möglich sind. Der Rang kann

sich nicht verändern, er kann sich um 1 erhöhen, er kann sich um 2 erhöhen. Und abhängig von

diesen drei Situationen treten jetzt diese Fälle auf und zwar allgemein. Das heißt also,

wenn der Rang sich nicht erhöht, dann tritt der Fall 1 auf, kein linearer Anteil und das

C ist gleich 0. Wenn der Rang sich um 1 erhöht, tritt auch der Fall 1 auf und C ist ungleich

0. Und schließlich nur in dem Fall, wo sich der Rang um 2 erhöht, tritt dieser Fall auf,

wo es einen linearen Anteil noch gibt. Das heißt aber jetzt wiederum, und insofern ist

das ein bisschen allgemeiner formuliert, als es jetzt hier steht, in dem Fall, wo wir maximalen

Rang für die Matrix A haben, dann können wir ja auch maximal um 1 erhöhen, denn die

erweiterte Matrix hat Dimension N plus 1, sie kann maximal Rang N plus 1 haben. Das heißt

also nur im Falle vollen Rang treten nur diese beiden Fälle auf, also es tritt nur der Fall

1 auf und eben die Rang-Aussage, das fehlt jetzt hier noch in der Formulierung, diese

Differenzierung nach dem Rang unterscheidet, ob eine konstante Auftritt oder nicht Auftritt.

Das ist die eine Ergänzung. Die andere Ergänzung, die wir aber jetzt noch nicht so hundertprozentig

verifizieren können, sondern erst, wenn wir uns mit der euklidischen Normalform oder metrischen

Normalform, wie man die auch nennt, befasst haben, also die Normalform, die entsteht,

wenn man nur Bewegungen zulässt, das heißt also insbesondere, wenn man die Eigenwerte

der Matrix nicht ändert, hier können wir ja durchaus mit uns, mit sozusagen der Gewalt

der Stauchungen und Streckungen unserer affinen Abbildungen, können wir die positiven AKs