Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir haben ja in den letzten Vorlesungen einige Typen von Anfangswertproblemen kennengelernt,

die man analytisch lösen kann. Aber in der Praxis wird das fast nie der Fall sein. In der

Praxis werden Sie meistens Anfangswertprobleme haben, die Sie numerisch lösen müssen. Deshalb

geht es in dieser Vorlesung auch einmal um numerische Verfahren zur Lösung von

Anfangswertproblemen. In der letzten Vorlesung haben wir ja diesen Satz von

P.K. Lindelöf gesehen, der gibt eine hinreichende Bedingung für die Existenz

einer eindeutigen Lösung. Also die rechte Seite F muss dann stetig sein und

außerdem noch Lipschitz stetig, bezüglich Y. Und wenn Sie diese

eindeutige Lösbarkeit haben, dann können Sie ja auch mit dem Computer die

Lösung gut approximieren. Also wenn es dann konvergiert, dann sollte es schon

auch gegen diese eindeutige Lösung konvergieren.

Wir beschäftigen uns jetzt also mit numerischen Verfahren, aber das ist ein

weites Feld, deshalb ist es hier nur ein kurzer Einstieg in die Thematik.

Es gibt zum Beispiel die Vorlesung numerik für Ingenieure, da wird es

nochmal ganz ausführlich behandelt. Unsere Problemstellung ist hier das

Anfangswertproblem y' von x ist gleich f von x y von x. Die

Differentialgleichung mit der Anfangsbedingungen y an der Stelle x0

ist gleich y0.

Und das Anfangswertproblem ist eben oft nicht analytisch

lösbar. Oft nicht analytisch lösbar.

In dem Beweis des Satzes von Pejano haben wir ja schon das erste Verfahren

kennengelernt, das war das Polygonzugverfahren. Das nennt man auch

Euler-Koschi-Verfahren, das ist das einfachste Verfahren.

Polygonzugverfahren. Man

approximiert dabei diese Lösungskurve durch eine stückweise gerade Funktion, also eine Funktion, die stückweise durch

Graten gegeben ist. Das nennt man auch das Euler-Koschi-Verfahren. Dabei macht man im

Grunde von dem Punkt ausgehend, auf dem man sitzt, so eine Taylor-Aproximation

erste Ordnung und läuft ein Stückchen auf dieser Graden, die die Taylor-Aproximation

liefert und dann am nächsten Punkt macht man das gleiche mit der neuen Steigung.

Wie sieht das geometrisch aus? Wir haben ja die x-Achse mit dem Gitter. Wir fangen

mit dem Punkt x0 an und dann nehmen wir equidistante Gitterpunkte x1, x2, x3

x4 und x5 und die haben jeweils den Abstand h voneinander. Also hier dieser

Abstand ist immer h.

In dem Punkt x0 ist ja der Wert y0 vorgegeben durch die Anfangsbedingungen.

Das ist der Startpunkt des Polygonzuges und dann nimmt man da eine Steigung, die

zu der Differentialgleichung passt und geht auf der entsprechenden Graden weiter

bis zum Punkt x1 und da rechnet man eine neue Steigung aus und kommt so zu dem

Punkt x2 und dann geht es weiter. Ich rechne hier nur in positive x-Richtungen

weiter. Man kann sich das ja als Zeit vorstellen, da ist man dann meistens nur

an der Entwicklung in die Zukunft interessiert. Unten, das sind die

Gitterpunkte, die bilden ein equidistantes Gitter.

Das besteht aus den Punkten xk der Form x0 plus Schrittweite h mal k und dabei

ist das k aus der Menge 0, 1, 2, 3 und so weiter.

Und die Zahl h größer 0 nennt man dabei die Schrittweite, weil man jeweils ein

Schritt der Länge h macht, um zum nächsten x zu kommen.

Schrittweite h größer 0. Die ist vorgegeben. Je kleiner die Schrittweite

ist, desto genauer wird die Näherung sein, aber desto langsamer kommt man auch in

der Zeit vorwärts. Also wenn man genauer rechnen will, dann dauert es meistens

länger. Wie rechnet man jetzt den nächsten Punkt aus? Das y1 ist definiert