So, dann hallo zusammen. Schön, dass sich noch einige eingefunden haben zur letzten Vorlesung

dieser Veranstaltung. Aber ich hoffe, wir werden uns nächste Woche noch mal sehen zur

Klausur, die dann angeboten wird. Gut, worum soll es heute gehen? Abschließend, wir wollen

uns noch mal ein bisschen die algebraische Struktur der reellen Zahlen näher anschauen,

denn bislang haben wir uns die reellen Zahlen schon dem Kontext angesehen, dass sie topologisch

vollständig sind. Wir haben uns die Ordnungsstruktur der reellen Zahlen angesehen. Wir haben gesehen,

dass in den reellen Zahlen Gleichungen der Formen, wie zum Beispiel x² – 2 gleich

0, lösbar sind, was in den rationalen Zahlen ja nicht der Fall ist, und dergleichen. Wir

haben letzte Woche versucht, solche Wurzeln auch zu approximieren, mit Hilfe von Iterationsverfahren

über die rationalen Zahlen. Und heute wollen wir noch ein bisschen detaillierter, wie gesagt,

auf die algebraische Struktur eingehen von reellen Zahlen. Denn bislang, wir wissen

zwar, dass es sehr viele irrationale Zahlen gibt, nämlich überabzählbar viele, können

bislang aber noch gar nicht so viele tatsächlich angeben. Denn was wir bislang benennen können

als eine irrationale Zahl ist eine Wurzel über eine rationale Zahl, wenn die rationale Zahl

nicht als im gekürzten Falle nicht besteht aus zähler ist eine Quadratzahl und nennner

ist eine Quadratzahl, dann ist natürlich die Wurzel weiterhin eine irrationale Zahl. Andernfalls

haben wir gesehen, ist das eine irrationale Zahl. Gut, wir können jetzt viele solche Wurzeln

angeben, aber eben nicht überabzählbar viele. Aber wir können, wenn wir eine solche Wurzel

haben, aufgrund der algebraischen Abgeschlossenheit der rationalen Zahlen auch weitere irrationale

Zahlen angeben, nämlich zum Beispiel, wir wissen die Wurzel 2 ist irrational, dann ist

auch jedes Vielfache im Sinne, dass wir eine rationale Zahl multiplizieren zu Wurzel 2

ist weiterhin irrational und wenn wir dann noch eine rationale Zahl dazu addieren, bekommen

wir wieder eine irrationale Zahl raus. Denn andernfalls, wenn diese Zahl R hier nicht

irrational wäre, dann könnte ich die Zahl R minus Q1 geteilt durch Q2 mir anschauen,

im Falle, dass Q2 ungleich 0 ist, das wäre Wurzel 2 und das müsste aufgrund der Abgeschlossenheit

von Q als Körper eben auch wieder in Q enthalten sein, was ja nicht der Fall ist. Also all

diese Zahlen sind weiterhin irrationale Zahlen. Gut, tatsächlich kann man auch für diese

Menge hier sehen, dass es eine schöne algebraische Struktur gibt, denn auch diese Menge hier

bildet ein Körper, ein Unterkörper von R und zwar mit einer Besonderheit, dass dieser

Körper der kleinste Unterkörper von R ist, der sowohl alle rationalen Zahlen als auch

Wurzel 2 beinhaltet. Das möchte ich kurz zeigen. Was muss man zeigen? Für den Körper

oder für den Unterkörper eigentlich nur die Abgeschlossenheit bezüglich der Operation,

die wir auf diesen Mengen vorgegeben haben, das ist die Addition und Multiplikation. Das

heißt, wenn ich zwei solche Elemente mir aus dieser Menge hier nehme und ich addiere sie,

dann bekomme ich wieder ein Element aus der Menge und wenn ich sie multipliziere, bekomme

ich auch ein Element aus der Menge. Außerdem müssen die neutralen Elemente natürlich in

dieser Menge enthalten sein, die 0 und die 1. Ja, das ist der Fall. Wähle ich hier Q1

und Q2 gleich 0, habe ich die 0. Wähle ich Q1 gleich 1 und Q2 gleich 0, habe ich die

1. Also die neutralen Elemente sind enthalten und die inversen Elemente sollen auch enthalten

sein. Das ist im einen, im additiven Fall ziemlich einfach einzusehen. Im multiplikativen

Fall wird es ein bisschen schwieriger. Also der Beweis ist wie folgt, das ist die Abgeschlossenheit

der Operatoren oder der Operationen Plus und Minus sowie der inversen Bildung zu zeigen.

Also zum einen mal die Abgeschlossenheit der Addition, wenn ich zwei solche Zahlen habe,

dann bekomme ich Q1 als plus und Q2 als 2. Das ist ein Element aus dieser Menge und ein

anderes Element bezeichne ich mit Q1 als 2 plus Q2 als 2 und ich addiere diese beiden.

Dann bekomme ich, das ist nichts anderes als Q11 plus Q12 plus Q21 plus Q22 multipliziert mit Wurzel 2.

Offensichtlich, das hier ist wieder eine rationale Zahl, das hier ist eine rationale Zahl, multipliziert mit Wurzel 2, hat also genau diese Struktur.

Das heißt, auch die Summe liegt wieder in dieser Menge Q Wurzel 2.

Ganz ähnlich funktioniert das für das Produkt.

Wurzel 2 jetzt multipliziert mit Q12 plus Q22 multipliziert mit Wurzel 2.