Also f und g sollen differenzierbar sein.

Und wir betrachten jetzt die Verkettung h gleich f kringle g und wollen jetzt die

Ableitung dieser Verkettung berechnen und am Ende soll rauskommen dh an der Stelle x0,

also die Funktionalmatrix von h an der Stelle x0 ist das Matrizenprodukt der Funktionalmatrix

von g an der Stelle f von x0 und der Funktionalmatrix von f an der Stelle x0.

Entschuldigung ich müsste schreiben h gleich g kringle f also das habe ich falsch geschrieben

h von x ist gleich g von f von x also also das löse ich einfach mal weg.

Wir bilden den Punkt x0 erstmal ab auf f von x0 und dann ist das auch einleuchtend,

dass diese Funktionalmatrizen da eine Rolle spielen.

Nach Voraussetzung ist ja f differenzierbar an der Stelle x0 und das g ist differenzierbar

an der Stelle f von x0 und das führt ja zu solchen Gleichungen mit f von x, f von x0

und phi f und entsprechend für g die haben wir schon notiert und dann zusammengefasst

und am Ende stand da schon g an der Stelle f von x ist gleich g an der Stelle f von x0

plus dg an der Stelle f von x0 mal df von x0 mal x minus x0 plus dg von f von x0 mal

phi f von x0,x plus phi g an der Stelle f von x0,f von x und das ist ja schon ziemlich

genau das was wir brauchen, das können wir ja wieder mit unserem h ausdrücken mit unserer

verketteten Funktion, also was da am Anfang steht g von f von x das ist ja gerade unser

h von x und die rechte Seite kann man auch mit dem h ausdrücken, dann steht da g von

f von x0 ist h von x0 plus dh von x0 mal x minus x0 und dann plus phi h von x,x0 und

das phi h ist der ganze Rest und wir müssen nur noch zeigen dass das phi h das macht was

es machen soll nämlich gegen 0 geht für x gegen x0 auch wenn man das noch dividiert

durch die Norm von x minus x0, also schreiben wir auf was ist unser phi h von x0,x durch

Norm von x minus x0 das ist 1 durch Norm x minus x0 mal phi g von f von x0,f von x plus

dg von f von x0 mal und das ist jetzt der Teil phi f von x0,x durch Norm von x minus

x0 und hier bei dem zweiten summanden da weiß man sofort dass das gegen 0 geht also das

steht da genauso wie in der definition und bei dem ersten muss man noch ein bisschen

sich überlegen warum das auch gegen 0 konvergiert für x gegen x0 und das machen wir jetzt noch.

Es gilt also der limus für x gegen x0 von phi f von x0,x durch die Norm von x minus

x0 gleich 0 dieser Teil macht keine Probleme und das dg ist ja konstant also da gibt es

keine Schwierigkeiten mehr und deshalb schauen wir uns jetzt den anderen Teil an den ersten

summanden es gilt 1 durch Norm x minus x0,i g von f von x0,f von x wichtig ist ja immer

dass man vermeidet dass Nullen im Nenner stehen und deshalb betrachten wir hier den Fall separat

das f von x gleich f von x0 ist dann ist man in dem phi g ja schon in dem Grenzwert und

phi g von f von x0,f von x0 ist 0 und dann ist auch dieser Quotienten 0 und in dem anderen

Fall ist f von x minus f von x0 ungleich 0 und dann kann man auch durch die Norm dieser

Differenz f von x minus f von x0 dividieren dann schreiben wir das ganze als Norm von f

von x minus f von x0 geteilt durch Norm von x minus x0 und dann mal phi g von f von x0,f

von x durch Norm von f von x minus f von x0 also das geht falls f von x ungleich f von

x0 ist und warum haben wir das gemacht hier in dem phi g sind ja die Argumente f von x0

und f von x und die Eigenschaft von dem phi g ist gerade wenn man das phi g durch die

Norm der Differenz der Argumente teilt dann geht das immer noch gegen 0 wenn das zweite

Argument gegen f von x0 geht und das ist ja der Fall wenn das x gegen x0 geht also kurz

gesagt dieser Ausdruck geht gegen 0 für x gegen x0 es bleibt also da steht sowieso 0

es bleibt also nur noch zu zeigen dass diese dieser Quotient der Norm der Differenzen beschränkt

bleibt und das liegt wiederum an der Differenzierbarkeit der Funktion f nach Definition das schreiben

wir jetzt noch einmal hin es gilt Liemers für x gegen x0 phi g von f von x0 f von x

durch die Norm von f von x minus f von x0 gleich 0 und jetzt betrachten wir den Faktor

davor da steht Norm von f von x minus f von x0 durch Norm von x minus x0 kleiner gleich

Norm von df von x0 mal x minus x0 durch Norm von x minus x0 und dann kommt noch dazu die

Norm von phi f von x0, x durch die Norm von x minus x0 für f von x minus f von x0 haben