Wir haben in den letzten beiden Videos eine explizite Darstellung von Lösungen, allgemeine

Differentialgleichungssysteme, basierend auf ihrer Linearisierung und der Abweichung vom Vektorfeld

f auf der rechten Seite des Differentialgleichungssystems in einer Ruhelage uns angeschaut. Wir haben auch

schon festgestellt, dass uns diese Darstellung in Linearisierung und Abweichung nichts bringt,

zumindest nicht direkt, da diese Darstellung selber wieder von der unbekannten Lösung x abhängt.

Daraufhin haben wir uns mit der Gronwall-Ungleichung beschäftigt und die Gronwall-Ungleichung hat uns

ein Werkzeug gegeben, um sozusagen die Norm der unbekannten Lösung nach oben abzuschätzen. Und in

diesem Video wollen wir nun die beiden Resultate kombinieren, um damit etwas über die asymptotische

Stabilität von Ruhelagen in allgemeinen Differentialgleichungssystemen aussagen zu

können. Wir fangen auch direkt an mit dem Hauptresultat zu diesem Thema. Das heißt,

wir beschäftigen uns jetzt mit der asymptotischen Stabilität von Ruhelagen und das wird das Theorien

sein, um das sich das Video hier dreht. Also asymptotische Stabilität von Ruhelagen. Gut,

hätte ich nicht schreiben brauchen, ist auch die Überschrift dieses Kapitels. Fangen wir mal an,

wir müssen uns ein Vektorfeld vorgeben, als rechte Seite des Differentialgleichungssystems,

das wir auch gleich definieren werden. Das heißt, wir haben das Ganze immer f genannt,

sei Groß f eine Vektorfeld, das stetig differenzierbar ist auf dem Phasenraum u mit

Werten in R hoch n. Das sei ein Vektorfeld auf dem offenen Phasenraum. Ich hebe das mal kurz hervor,

sonst fordern wir das nicht, aber heute wird das wichtig. Der offene Phasenraum u, Teimungen R

hoch n. Jetzt nehmen wir uns eine Ruhelage vor, für die wir das dynamische System,

das durch das Differentialgleichungssystem gegeben ist, untersuchen wollen. Da werden

wir uns quasi die Frage stellen, ist das eine stabile Ruhelage. Also eine Ruhelage und die hatten

immer mit x subindex f benannt. x mit f in u des dynamischen Systems,

das durch das folgende allgemeine Differentialgleichungssystem gegeben ist,

das möchte ich auch hervorheben. Wir hatten Resultate für asymptotische Stabilität schon

bei linearen Differentialgleichungssystemen gesehen. Jetzt machen wir das im allgemeinen

Fall. Das wird sozusagen hier die Generalisierung. Das allgemeine DGL-System, das von folgender

Form ist, wir interessieren uns für die Zeitableitung von x im Punkt t und auf der rechten Seite das

Vektorfeld f von x von t und das für alle t. In diesem Video wollen wir sagen, nehmen wir den

ganzen nicht negativen Zahlenstrahl, also inklusive der Null, das heißt t ist hier aus R0 plus.

Genau, das durch dieses allgemeine DGL-System charakterisiert wird. Solch eine Ruhelage

nennen wir asymptotisch stabil, beziehungsweise nicht nennen wir, sondern die ist asymptotisch

stabil, wenn die Eigenwerte der Linearisierung in der Ruhelage alle negativ sind. Das ist ein

Ergebnis, das kennen wir auch schon aus dem linearen Fall und das schaffen wir mit den

beiden Resultaten der letzten beiden Videos auf den allgemeinen Fall zu übertragen. Also ist asymptotisch

stabil, wenn für die Eigenwerte, die nennen wir mal lambda i, die gleich eins bis n der

Linearisierung in der Ruhelage. Die Linearisierung haben wir typischerweise im a genannt. Das ist

nichts anderes wie die Jacobi-Matrix von f, das soll ein großes f sein. Die Jacobi-Matrix von f im

Punkt xf, wenn für diese Eigenwerte gilt, dass die alle negativ sind, beziehungsweise ihr Realteil

kleiner 0 ist. Das heißt der Realteil der lambda i, der soll kleiner 0 sein für i gleich eins bis n.

Damit haben wir jetzt ein hinreichendes Kriterium gefunden und wissen, wir müssen nur linearisieren

in der Ruhelage, die wir zuerst finden müssen und dann schauen wir uns von der Matrix, der

Jacobi-Matrix, die Eigenwerte an und sollten die alle negativ sein, dann wissen wir, es handelt

sich um eine asymptotische Ruhelage. Bevor uns jetzt dem Beweis widmen, der von analytischer Natur

ist, das heißt wir werden viele Abschätzungen treffen müssen, werden ein paar Tricks ausgraben

müssen aus der Zeit der Analysis. Möchte ich darauf hinweisen, dass uns dieser Satz im Beweis

gleich noch etwas mehr liefert, denn der charakterisiert auch den Bereich, für den die

Ruhelage wirklich attraktiv ist. Das heißt wir werden sehen, wie weit man sich von der Ruhelage

entfernen kann, sodass man definitiv noch asymptotisch stabil ist, das heißt gegen

die Ruhelage konfiguriert und darüber hinaus können wir erstmal keine Aussage treffen. Man

kann sich vorstellen, wenn man sich zu weit weg bewegt in einem allgemeinen Differential-Gleichungssystem,