Wir haben im letzten Video definiert, was Nihilpotente, Endomorphismen und Matrizen sind

und haben anhand einiger Beispiele den Nihilpotenzindex einer Matrix bestimmt durch Potenzierung

eben dieser Matrix, bis diese eben die Nullabbildung wurde.

Jetzt ist das natürlich ein sehr unpraktisches Kriterium.

Zu testen ist eine Matrix Nihilpotent, indem ich sie so lang potenziere, bis was passiert

oder eben nicht.

Darum wollen wir uns heute mit der mathematischen Charakterisierung von Nilpotenz beschäftigen

und einige Sätze und Hilfslemmata herleiten, die uns helfen werden zu entscheiden, ist

eine Matrik bzw. ein Endomorphismus Nilpotent oder nicht.

Für den ersten Satz, den wir gleich zeigen werden, ich mache kurz die Überschrift.

Und wir werden natürlich anfangen mit oberen rechten Dreiecksmatrizen.

Das war das, wo wir zuletzt bei der Tribunalisierung stehen geblieben sind.

Und wir werden gleich sehen, wann solch eine Matrix nilpotent ist.

Bevor wir einen Satz zur Charakterisierung machen, brauche ich noch folgendes Hilfslemmer.

Also wir nehmen uns eine Matrix als darstellende Matrix eines Enomorphismus vor.

Sei A in n Kreuz N, eine Matrix mit Körper K.

Und jetzt eine wichtige Eigenschaft, die wollen wir in rot hervorheben.

Eine strikte rechte obere 3x Matrix.

Das bedeutet, dass die Hauptdiagonale nur Null enthält.

Obere rechte 3x Matrix.

Das heißt insbesondere, dass die Diagonalelemente A, I, I alle gleich Null sind.

1 kleiner gleich i kleiner gleich n.

Dann ist A Nihilpotent und hat einen Nihilpotenzindex von k kleiner gleich n.

Nihilpotenzindex k kleiner gleich n.

Wenn wir uns erinnern, haben wir auch schon ein Beispiel gesehen, bei dem es sich um die

Jordan Matrix gehandelt hat. Auf der ersten Nebendiagonalen hatten wir 1 und ansonsten

war die Matrix 0.

Und in diesem Spezialfall haben wir gesehen, dass es genau N Schritte braucht.

Also wir haben einen Nihilpotenzindex von N bei solchen Matrizen.

Bei anderen Matrizen ist es aber durchaus möglich, dass die Abbildung schon vorher

für ein k echt kleiner n schon die Nullabbildung wird.

Darum können wir das Ganze nur nach oben abschätzen mit k kleiner gleich n.

Gut, das heißt also, dieses Hilflämmer sagt uns, wenn wir eine oberrechte 3x Matrix haben,

deren Hauptdiagonal 0 ist, dann müssen wir maximal N Schritte warten beim Potenzieren

und wir erhalten dann die Nullabbildung.

Den Beweis dazu haben wir Ihnen als Hausaufgabe aufgegeben und wir werden dieses Hilflämmer

für einen Satz jetzt gleich benutzen, denn das gibt uns eine Richtung des Satzes und

der Satz geht wie folgt.

Wir werden jetzt eine komplette Charakterisierung der oberen rechten 3x Matrizen machen mit

Bezug auf Nihilpotenz.

Also, Charakterisierung von Nihilpotenten oberen rechten 3x Matrizen.

Was sagt uns der Satz?

Wir geben uns wieder eine obere rechte 3x Matrix vor, die muss in dem Fall nicht strikt

sein, das ist jetzt anders wie im Hilflämmer, das wir gerade aufgeschrieben haben.

Also sei A eine N Kreuz N Matrix, obere rechte 3x Form, 3x Matrix.

Dann gelten die folgenden Aussagen.

Wir fangen an mit der ersten Aussage.

Wir können sagen A ist genau Nihilpotent, wenn alle Diagonalelemente gleich Null sind.

Das ist jetzt etwas stärker als das, was das Hilflämmer uns sagt, denn dort haben wir

nur gesagt, wenn die Hauptdiagonalelemente Null sind, folgt die Nihilpotenz, aber anders