Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ich gehe mal davon aus, dass Herr Schulz mit Ihnen das letzte Mal, die letzten beiden Termine,

das ganze Kapitel-Mehrschritt-Verfahren abgeschlossen hat und damit können wir

auch das ganz große Kapitel Anfangswertaufgaben abschließen und zum Kapitel Randwertaufgaben

kommen. Deswegen habe ich auch noch mal zurückgeblättert an den Anfang der Vorlesung,

wo wir einige oder wo wir ein Beispiel für eine Randwertaufgabe besprochen haben und wenn Sie

sich, wir schauen uns das gleich noch mal an, wenn Sie sich daran erinnern, merkt man schon einen

deutlichen Unterschied. Bei Anfangswertaufgaben haben wir eine sehr allgemeine Formulierung,

da ist die rechte Seite ein F von T und Y, wir haben sowas dann natürlich schon wie steife

Differentialgleichungen formuliert, aber wesentlich weitergehend ist da keine Spezifikation in die

Theorie eingeflossen, vielleicht noch dieser Begriff des dissepativen Systems, was in die

Stabilitätsabschätzungen eingegangen ist, das liegt ein bisschen daran, dass Anfangswertaufgaben

wirklich ein eindimensionales Problem ist. T ist eben die Zeit, die Zeit ist eindimensional und da

geht das nach vorne oder nach hinten, die Zukunft und die Vergangenheit und in gewisser Weise sind

Anfangswertprobleme dann immer recht ähnlich. Bei Randwertaufgaben ist das ganz anders, jede

Randwertaufgabe ist irgendwie anders, es gibt sehr große Klassen, sehr unterschiedliche Randwertaufgaben

und das liegt daran, dass die Randwertaufgaben für gewöhnliche Differentialgleichungen, also in

einer Variablen letztlich nur Spezialfälle von Randwertaufgaben für partielle Differentialgleichungen

sind, die sich eben je nachdem, welche Prozesse sie beschreiben, sehr sehr unterschiedlich

verhalten. Schauen wir uns nochmal dieses Beispiel an, was wir da gesehen haben. Das Beispiel war

ja erschreckend einfach, es ist erstmal eine lineare Differentialgleichung, wir werden es gleich nochmal

ein bisschen verallgemeinern hier, wo im Wesentlichen sowas wie die zweite Ableitung einer Unbekannten

auftaucht und es sind Randwerte hier gleich Null am Rande des betreffenden Intervalls vorgegeben.

Das ist jetzt eine Formulierung, die bedarf keiner numerik, das kann man einfach durch zweimaliges

aufintegrieren, kann man diese Gleichung lösen und ähnliches gilt für analoge eindimensionale

Gleichungen. Der Hintergrund jetzt dieser Gestalt, das ist ein bisschen eine komische Formulierung,

erst einmal steht hier ein Minuszeichen rum, das könnte man natürlich auch in die rechte

Seite inkorporieren, aber warum steht hier ein Minuszeichen, dann diese Formulierung,

was wir dann gleich die Divergenzformulierung nennen werden, das hier ein Ausdruck mit Ableitung und

dann noch einmal eine Ableitung, warum differenziert man das hier nicht aus steht, das hat was mit der

Herkunft der Probleme zu tun und damit aber auch mit dem mathematischen Charakter, der sich damit

verbindet und zwar beschreiben, haben wir hier die aller einfachste Beschreibungen von Erhaltungssituationen

vorzuliegen und an Erhaltungssituationen im Stationären machen wir eine Aussage über die

Divergenz eines Flusses. Im Eindimensionalen ist die Divergenz einfach die Ableitung, das erklärt

die äußere Ableitung in der Geschichte. Also wenn man ein Wärmeleitungsproblem oder überhaupt ein

Wärmetransportproblem hat, dann ging es also hier um den Wärmestrom, der zu beschreiben ist und

je nachdem, entweder ist es eben eine isolierte Situation, dann wäre Divergenz dieses Wärmestroms

gleich Null oder man hat eine verteilte Wärmequelldichte, dann ist das gerade die

jeweils gegebene Datum F auf der rechten Seite. Im Eindimensional ist das einfach eine Gleichung von

dieser Bauart Q Strich gleich F, Q eben wie gesagt der Wärmestrom, F diese Quelldichte. Im

Mehrdimensionalen wäre dann Q ein Vektorfeld, kein Skalarfeld und die Ableitung müsste durch die

Divergenz ersetzt werden. Das hat was mit dem Gaussian Divergenzsatz zu tun, dass das wirklich

die Erhaltung einer betreffenden Größe beschreibt. Das will ich jetzt nicht machen, das ist, haben

Sie bestimmt schon gehört oder ist Inhalt einer Vorlesung zur mathematischen Modellierung. Hier

wird das Ganze noch mal eindimensional begründet, dass das so ist, aber mehrdimensional ist es dann

der Gaussian Divergenzsatz und der zweite Bestandteil ist eben ein konstitutives Gesetz, da kann man

sagen, das ist experimentell begründet, das wäre im aller einfachsten Fall der Wärmeleitung,

das Foyer-Yeeshi-Gesetz, was sagt der Wärmestrom ist ja eindimensional, proportional zum negativen

Ableitung der Temperatur und mehrdimensional haben wir auch noch eine Richtung, mehrdimensional

würden wir sagen, der Wärmestrom ist im einfachsten Fall proportional zum negativen Gradienten der