Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Also wir hatten gesehen, zumindest wenn wir uns auf endlich dimensionale Räume beschränken,

dann ist eine lineare Abbildung, die erstmal ja was abstraktes ist, ja mindestens so abstrakt

wie diese abstrakten endlich dimensionalen Räume, sehr konkret darstellbar, nämlich

über eine Darstellungsmatrix. Voraussetzung ist, können wir uns vielleicht ein bisschen konzentrieren?

Voraussetzung ist, dass wir Basen fest wählen, das legt natürlich dann auch gleich die Frage

nach, gibt es vielleicht eine gute oder eine schlechte Wahl auch von Basen bezüglich einer

spezifischen linearen Abbildung und ihrer Darstellung, aber das ist eine schwierige Frage,

die uns das ganze vierte Kapitel beschäftigen wird, also weit in das zweite Semester hineinreichen

wird, aber was wir jetzt erstmal begrifflich gesehen haben, es ist eben, wir haben erstmal

eine Biektion zwischen dem Raum, wir können inzwischen sagen Raum, weil wir es mit einer

Vektorraumstruktur versehen haben, zwischen dem Raum der Homomorphismen von V nach W,

wobei V ein, gehen wir mal hierher, ein n-dimensionaler Vektorraum ist, W ein m-dimensionaler Vektorraum

auf der einen Seite und dem Vektorraum der Matrizen mit m Zeilen und n Spalten, also

die Spaltenzahl ist sozusagen die Dimension, wo wir starten des Definitionsbereichs und

die Zeilenzahl ist die Dimension des Wertenbereichs. Und diese Matrix, wenn wir jetzt von der,

vom Homomorphismus ausgehen, kommt diese Matrix auf eindeutige Weise dadurch zustande, dass

wir die Mytespalte dieser Matrix dadurch ermitteln, dass wir das Bild des Mytenbasisvektors des

Ausgangsraums, also von Vm jetzt in der Notation, in der Basis des Bildraums, das sind die Ws

hier in der Notation darstellen und diese eindeutig bestimmten Zahlen ergeben dann die betreffende

Mytespalte dieser Darstellungsmatrix. Umgedreht, wenn wir uns eine Matrix vorgeben, dann definieren

wir auf diese Weise die Bilder, in eindeutiger Weise die Bilder der Basisvektoren und wir

wissen aufgrund des Ausdehnungsprinzips, dass damit schon die ganze lineare Abbildung definiert

ist. Das ergibt erst mal eine Biektion zwischen diesen beiden Vektorräumen und diese Abbildung,

die wir jetzt gerade definiert haben, ist auch eine lineare Abbildung, das heißt wir haben

damit einen Isomorphismus zwischen diesen beiden Vektorräumen etabliert. Das heißt

also nach Festlegung von Basen sind wir in der Lage aus diesem abstrakten Objekt lineare

Abbildung von einem eher abstrakten Funktionenraum, jedenfalls Vektorraum in einen anderen, was

ganz Konkretes zu machen, nämlich eine Matrix. Jetzt müssen wir natürlich schauen, wie sich

die ganzen Operationen da hin und her übersetzen. Hier steht nochmal die punktweise definierte

Vektorraumstruktur des Raums der Homo morphismen, das ist also völlig analog zu den Matrizen,

zum Matrix mal Vektor Produkt und hier steht nochmal die gerade angesprochene Aussage.

Die Abbildung beschreiben wir mit dieser eckigen Klammer hier, das heißt Phi aus HOMVW in

eckiger Klammer ist gerade das eindeutige Element in RMN, die Matrix, die diesen HOMO

morphismus, die diese lineare Abbildung darstellt. Alles ist immer abhängig von den gewählten

Basen und ändert sich, wenn wir die Basis ändern. Das heißt, wenn wir da Zweifel haben,

sollten wir diese Bezeichnung entsprechend auch erweitern und notieren, welche Basis

wir meinen und das machen wir dadurch, dass wir rechts, sozusagen im Sinne der Abbildung,

rechts als Index die Basis des Ausgangsraums schreiben und links als Index die Basis des

Bildraums, wenn da Unklarheiten besteht, welche Basen gemeint sind.

So, schauen wir uns nochmal an, wie jetzt der Zusammenhang ist und das kann man sich

jetzt nochmal ganz griffig hier veranschaulichen. Also wir legen nochmal, wie gesagt, zwei

Basen fest, V1 bis Vn zusammengefasst zum B1 als Basis von V, W1 bis Wm zusammengefasst

zum B2 als Basis von W. Wir wollen also jetzt wissen, wir haben also jetzt sozusagen auf

der abstrakten Ebene haben wir das Phi, wir haben das V aus V und das W aus W, was potenziell

das Bild von V ist. Das ist die abstrakte Ebene. Auf der konkreten Ebene haben wir

Tupel X aus dem Rn, Tupel Y aus dem Rm, Darstellungsmatrix A zu diesen Basen und die Frage ist jetzt

AX gleich Y oder nicht. Und das ist jetzt der Zusammenhang, der sich mit der Darstellungsmatrix

ergibt. Das heißt also, diese Beziehung gilt genau dann, Phi von V ist gleich W, wenn V

bezüglich der gewählten Basis die XI als darstellende Koordinaten hat, wenn W bezüglich