Herzlich willkommen!

Ja, wir reden jetzt erstmal die erste Hälfte der Sitzung, würde ich schätzen, über etwas,

was wir in unserem Skript Mengenkonstruktionen nennen. Die Verwendung oder Erfindung dieses Wortes

dient der Vermeidung des Wortes Functor. Also wer was dazu nachschlagen will, das ist das Stichwort,

das er eigentlich braucht. Sie betont die Harmlosigkeit des Phänomens. Sie werden sehen,

es ist ja manchmal gewisser notationeller Aufwand, aber sonst auch nichts. Ziel des ganzen ist

letztendlich, die Signaturen, mit denen wir arbeiten, also diese Konstruktorsignaturen,

zu identifizieren mit so einer Mengenkonstruktion und auch den Begriff der Algebra dann rein in

den Begriff von Mengenkonstruktionen zu fassen. Jetzt kommt erstmal so ein Stück, das heißt im

Skript sogar eine Definition, das ist eigentlich, verdient nicht den Namen einer Definition,

sondern es ist mehr Notation, die wir jetzt einführen. Und zwar Notation für Mengen,

die wir basteln können, wenn uns irgendwelche bestimmten Mengen schon gegeben sind, sagen wir

Mengen x1 und x2. Das erste, das kennen wir hoffentlich alle, das erste ist das kathesische

Produkt dieser beiden Mengen. Gut, ist klar, was das ist. Das kathesische Produkt von x1 mit x2

besteht aus allen Paaren, klein x1 klein x2, wobei jeweils klein xi aus groß xi stammt für i gleich

1 und i gleich 2. Eine Konstruktion, die vielleicht nicht so bekannt ist, ist die Summe von zwei Mengen.

Und zwar ist die Summe schlicht und einfach nur systematische Art eine disjunkte Vereinigung

herzustellen. Im Allgemeinen können Mengen ja so zueinander liegen, die überlappen sich irgendwie

und wenn ich sie vereinige, dann bekomme ich die Elemente, die nun hier in der Überlappung liegen,

jeweils nur einmal. Es gibt aber zahlreiche Situationen, wo ich die also zweimal haben will.

Also einmal für jede Menge, wo ich also die Mengen gewissermaßen vorher disjunkt mache,

das heißt ich stelle irgendwie isomorphe Kopien von den Dingern her. Also dieses hier wird dann

etwas, das so aussieht. Gut, jetzt sind meine beiden Kringeln ein bisschen ähnlich, aber egal.

Dieses Ding sieht dann so aus. Jetzt habe ich hier also zwei Mengen hergestellt, die im Prinzip

eigentlich dieselben Mengen sind wie diese hier und wenn ich die dann vereinige, die sind disjunkt.

So die Frage ist, wie mache ich das? Naja, ich kann zum Beispiel Label dran schreiben. Also wenn

ich hier ein Element x habe, dann kann ich das hier zum Beispiel auf so ein paar 1,x werfen und hier

auf ein paar 2,x. Die sind dann disjunkt, weil 1,x nun mal nicht dasselbe ist wie 2,x. So und genau

das Spiel, das spielen wir hier. Das heißt also diese Summe x1 plus x2 ist also die Menge aller

Paare i,x, wobei i eben entweder 1 oder 2 ist und dieses kleine x aus Groß x i statt. So und dann

definieren wir uns noch eine Menge, die mit x1 und x2 nichts zu tun hat, die wir aber trotzdem

dauernd brauchen. Wir haben sie schon gelegentlich erwähnt. Ich wiederhole es nur nochmal. Wir

brauchen so eine kanonische einer Menge, also die aus einem Element, das wir Stern schreiben,

besteht und diese Menge nennen wir 1. So, es schließt sich daran an,

die Diskussion entsprechender Operatoren auf Funktionen. Das ist so die hauptsache

Message, die da vielleicht mitzunehmen ist, wenn man was mit Mengen macht, wenn man das mit Mengen

konstruiert, sollte man sich gleichzeitig überlegen, ob es dazu eine passende Konstruktion

auf Abbildungen gibt und das ist hier jeweils immer so.

Also ich gebe mir einfach mal ein paar Abbildungen vor, die entweder wie diese

Fi's hier auf meinen beiden vorgegebenen Mengen x1, x2 agieren. Also Fi geht von xi in

irgendein y, absichtlich beide mal dasselbe. Dann wollen wir auch noch die andere Richtung haben,

also Dinge die, ach nee doch nicht, die Fi's, da soll es nun gerade von i abhängen, also die gehen

nach yi. Die gi, da hängt das nicht von i ab, das heißt, die gehen in irgendein festes, nicht y,

sondern z und bei den hi, gerade umgekehrt, die gehen von irgendeinem festen z nach xi. Das

Ganze wieder für i gleich eins und zwei. So, wir werden jetzt uns überlegen, wie man diese

Abbildungen zusammen basteln kann. So, wir haben uns das kathesische Produkt von Mengen noch mal

angeguckt und es gibt sinnvollerweise auch ein kathesisches Produkt von Abbildungen. So,

und dieses kathesische Produkt von F1 und F2, das geht von x1 Kreuz x2 nach y1 Kreuz y2. Ich

bilde also an beiden Enden das kathesische Produkt und ich muss natürlich sagen, was diese Abbildung

macht, die nimmt sich also so ein typisches Element auf der linken Seite, also ein Paar,