Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Auch gegen Null. Und dann haben wir dieselbe Situation mit T2 und S2. Die liegen ja auch

zwischen Null und S bzw. T. Also wenn S und T gegen Null laufen, dann laufen die auch gegen

Null. Das schreiben wir jetzt mal hin. Also für S und T gegen Null folgt S, J und T,

J laufen gegen Null für J Element 1, 2. Also einfach, weil sie sowieso dazwischen liegen.

Das T1 liegt zwischen Null und T und das S1 liegt zwischen Null und S und dann schiebt man

die so gegen die Null. Und dann weiß man also die Argumente laufen dann gegen X, wenn S und T

gegen Null laufen. Aber diese zweite partielle Ableitung ist ja noch voraussetzungstätig und

die läuft dann auch gegen den Wert an der Stelle X. Wegen der Stetigkeit von d² fi nach dxk

dxj und der anderen zweiten partiellen Ableitung d² fi nach dxj dxk folgt d² fi nach dxk dxj

an der Stelle X ist gleich d² fi nach dxj dxk abgeleitet und das auch an der Stelle X.

Und das wollten wir ja nur zeigen und damit ist dieser Beweis geführt. Und das hat jetzt

wichtige Konsequenzen. Sie haben ja, wenn Sie eine Funktion in den R hoch 1 betrachten,

als erste Ableitung den Gradienten. Da stehen jetzt die ersten partiellen Ableitungen in einer

Zeile und wenn Sie dann dieses Gradientenfeld noch mal ableiten, dann kriegen Sie eine Funktionalmatrix

für das Gradientenfeld und in dieser Funktionalmatrix stehen lauter zweite partielle Ableitungen.

Und nach dem Vertauschungssatz von Schwarz ist es dann eine symmetrische Matrix. Und über

symmetrische Matrizen wissen Sie ja viel, oder? Ja gut, dann freut man sich, wenn man eine

symmetrische Matrix hat. Also erstmal ein Corolla aus dem Satz. Hier haben wir ja nur

zweite Ableitungen betrachtet. Wenn man aber jetzt höhere Ableitungen hat, Peterordnung,

dann kann man da auch beliebig die Variablenreihenfolge vertauschen durch mehrfache Anwendung dieses

Vertauschungssatz. Jetzt kommt man zu allen möglichen Vertauschungen. Ist also A Teilmenge

R hoch M offen und f von A nach R hoch N, p mal stetig differenzierbar.

So kann in einer p-den partiellen Ableitung, das sieht ja so aus, wir leiten erstmal nach

der x, j ersten Komponente ab und dann nach der x, j zweiten Komponente und dann nach

irgendeiner j-p-ten Komponente und da ist die Reihenfolge ganz egal. Also in diesem Ausdruck

kann die Reihenfolge der partiellen Ableitungen beliebig vertauscht werden.

Das ist wichtig, denn in dem Satz von Taylor kommen auch solche höheren Ableitungen vor

und wenn die Reihenfolge egal ist, kann man das strukturierte dann hinschreiben. Nun eine

Definition für den Raum der p-mal stetig differenzierbaren Funktionen führen wir eine

Notation ein, das nennen wir C hoch P auf dem Definitionsbereich A. Also für A Teilmenge

in den R hoch M offen und eine natürliche Zahl p aus N bezeichnet C hoch P von A in

den R hoch N einen Vektorraum, das bezeichnet den Vektorraum der p-mal stetig differenzierbaren

Funktionen

F von A in den R hoch N und da brauchen wir jetzt alle möglichen Notationen für diese

Ableitungen, die dann existieren. Wir haben also eine Funktion F aus C hoch P von A nach

R hoch N und dann haben wir eine Zahl Q aus 1 bis P, also wir dürfen alles Q mal ableiten.

Wir setzen hier, wir wenden jetzt D nach Dxj einfach Q mal an auf diese Funktion F an der

Stelle x und dazu schreiben wir hier ein hoch Q und dann hier auch ein hoch Q also das ist

D nach Dxj mal D nach Dxj mal D nach Dxj angewendet auf F an der Stelle x und eben Q mal angewendet.

Deshalb ist ja die Notation hier auch ganz natürlich also im Sinne so einer Potenz.

Hier stehen ja QDs und deshalb schreiben wir D hoch Q und unten stehen QDxj und dann schreiben

wir Dxj hoch Q. Wenn wir jetzt gemischte partielle Ableitungen betrachten brauchen wir so ein

Multiindex wie hier in dem Korollar darüber also j1 bis jk können wir jetzt ja zusammenfassen

in einen Vektor und das nennt man dann ein Multiindex wenn einfach alle Komponenten solche

natürlichen Zahlen sind oder auch Null für einen Multiindex.

Alpha gleich Alpha 1 bis Alpha m Element n vereinigt Null hoch m da steckt also die

Informationen drin wie oft ich nach der ersten Komponente ableiten will nämlich Alpha 1

mal und Alpha 2 sagt wie oft ich nach der zweiten Komponente ableiten will und so weiter

und einfach eben wie oft nach der n Komponente.